Matriz alternante

Em álgebra linear, uma matriz alternante, é uma matriz com uma estrutura particular, na qual as colunas sucessivas têm uma função particular aplicada às suas entradas. Um determinante alternante é o determinante de uma matriz alternante. Essa matriz de tamanho m × n matriz pode ser escrita assim:

$M=\left[\begin{array}{cccc}{f}_1({\alpha }_1)& f_2({\alpha }_1)& \dots & f_n({\alpha }_1)\\ f_1({\alpha }_2)& f_2({\alpha }_2)& \dots & f_n({\alpha }_2)\\ f_1({\alpha }_3)& f_2({\alpha }_3)& \dots & f_n({\alpha }_3)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_1({\alpha }_m)& f_2({\alpha }_m)& \dots & f_n({\alpha }_m)\end{array}\right]$

ou de forma mais sucinta

$M_{i,j}=f_j({\alpha }_i)$

para todos os índices i e j. (Alguns autores utilizam a transposta da matriz acima)

Exemplos de matrizes alternantes incluem matrizes de Vandermonde, para as quais $f_i(\alpha )={\alpha }^{i-1}$ e matrizes de Moore para as quais $f_i(\alpha )={\alpha }^{q^{i-1}}$.

Se $n=m$ e as $f_j(x)$ funções são todas polynomials, temos alguns resultados adicionais: Se ${\alpha }_i={\alpha }_j$ para qualquer $i<j$ então o determinante de qualquer matriz alternante é zero (como uma fileira é então repetida), portanto $({\alpha }_j-{\alpha }_i)$ divide o determinante por todos $1\le i<j\le n$. Dessa forma, se tomarmos

$V=\left[\begin{array}{cccc}1& {\alpha }_1& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& \dots & {\alpha }_n^{n-1}\end{array}\right]$

(Uma matriz de Vandermonde então $\prod _{i<j}({\alpha }_j-{\alpha }_i)=\det V$ divide tais alternantes determinantes polinomiais. A razão $\frac{\det M}{\det V}$ é chamada uma bialternante. No caso em que cada função $f_j(x)=x^{m_j}$, isto constitui a definição clássica de polinômio de SchurPredefinição:Nota de rodapé

Matrizes alternantes são utilizados em teoria da codificação na construção de códigos alternante.

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