Matriz de Moore

Em álgebra linear, uma matriz de Moore, introduzida por Eliakim Hastings Moore, é uma matriz definida ao longo de um corpo finito. Quando é uma matriz quadrada seu determinante é chamado um determinante Moore (este não está relacionado com o determinante Moore de uma matriz quaterniônica Hermitiana Predefinição:Nota de rodapé). A matriz de Moore tem potências sucessivas do endomorfismo de Frobenius aplicada à coluna em primeiro lugar, por isso, é um m × n matriz.

Matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

$M=\left[\begin{array}{cccc}{\alpha }_1& {\alpha }_1^q& \dots & {\alpha }_1^{q^{n-1}}\\ {\alpha }_2& {\alpha }_2^q& \dots & {\alpha }_2^{q^{n-1}}\\ {\alpha }_3& {\alpha }_3^q& \dots & {\alpha }_3^{q^{n-1}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\alpha }_m& {\alpha }_m^q& \dots & {\alpha }_m^{q^{n-1}}\end{array}\right]$

ou

$M_{i,j}={\alpha }_i^{q^{j-1}}$

para todos os índices i e j. (Alguns autores usam a transposição da matriz acima.) O determinante Moore de uma matriz quadrada Moore (de modo que m = n) pode ser expresso como:

$\det (V)=\prod _{𝐜}(c_1{\alpha }_1+\cdots +c_n{\alpha }_n),$

onde c é executado ao longo de um conjunto completo de vetores de direção, feito específico por ter a última entrada não-zero igual a 1, i.e.

$\det (V)=\prod _{1\le i\le n}\prod _{c_1,\dots ,c_{i-1}}(c_1{\alpha }_1+\cdots +c_{i-1}{\alpha }_{i-1}+{\alpha }_i).$

Em particular, o determinante Moore desaparece se, e somente se, os elementos na coluna do lado esquerdo estão linearmente independente sobre o corpo finito de ordem q. Assim ele é análogo ao Wronskiano.

Dickson usado o determinante Moore para encontrar os invariantes modulares do grupo geral linear sobre um corpo finito.

Predefinição:Classes de matriz Predefinição:Esboço-matemática