Matriz de Transição de Estados

Na teoria de controle, a matriz de transição de estado é uma matriz cujo produto com o vetor de estado $x$ em um momento inicial $t_0$ permite obter $x$ após um tempo $t$, permitindo assim conhecer o estado de um sistema em qualquer instante futuro. A matriz de transição de estado pode ser usada para obter a solução geral de sistemas dinâmicos lineares.

A matriz de transição de estado é usada para encontrar a solução para uma representação geral no espaço de estado de um sistema linear da seguinte forma

$\dot{𝐱}(t)=𝐀(t)𝐱(t)+𝐁(t)𝐮(t),𝐱(t_0)={𝐱}_0$ ,

Onde $𝐱(t)$ são os estados do sistema, $𝐮(t)$ é o sinal de entrada, $𝐀(t)$ e $𝐁(t)$ são funções de matriz, e ${𝐱}_0$ é a condição inicial em $t_0$ . Usando a matriz de transição de estado $\mathrm{\Phi }(t,\tau )$, a solução é dada por:

$𝐱(t)=\mathrm{\Phi }(t,t_0)𝐱(t_0)+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\mathrm{\Phi }(t,\tau )𝐁(\tau )𝐮(\tau )d\tau$

O primeiro termo é conhecido como resposta de entrada zero e o segundo termo é conhecido como resposta de estado zero .

Série Peano – Baker

A matriz de transição mais geral é dada pela série Peano-Baker

$\mathrm{\Phi }(t,\tau )=𝐈+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)d{\sigma }_1+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_1}{\int }}𝐀({\sigma }_2)d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}𝐀({\sigma }_1)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_1}{\int }}𝐀({\sigma }_2)\underset{\tau }{\overset{{\sigma }_2}{\int }}𝐀({\sigma }_3)d{\sigma }_{3}d{\sigma }_{2}d{\sigma }_1+...$

Onde $𝐈$ é a matriz de identidade . Esta matriz converge de maneira uniforme e absoluta para uma solução que existe e é única.

Outras propriedades

A matriz de transição de estado $\mathrm{\Phi }$ satisfaz os seguintes relacionamentos:

1 É contínuo e possui derivados contínuos.

2, nunca é singular; de fato ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(t,\tau )=\mathrm{\Phi }(\tau ,t)$ e ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(t,\tau )\mathrm{\Phi }(t,\tau )=I$, Onde $I$ é a matriz de identidade.

3 - $\mathrm{\Phi }(t,t)=I$ para todos $t$ .

4 - $\mathrm{\Phi }(t_2,t_1)\mathrm{\Phi }(t_1,t_0)=\mathrm{\Phi }(t_2,t_0)$ para todos $t_0\le t_1\le t_2$ .

5 Satisfaz a equação diferencial $\frac{\partial \mathrm{\Phi }(t,t_0)}{\partial t}=𝐀(t)\mathrm{\Phi }(t,t_0)$ com condições iniciais $\mathrm{\Phi }(t_0,t_0)=I$ .

6 A matriz de transição de estado $\mathrm{\Phi }(t,\tau )$, dado por

$\mathrm{\Phi }(t,\tau )\equiv 𝐔(t){𝐔}^{-1}(\tau )$

onde o $n\times n$ matriz $𝐔(t)$ é a matriz de solução fundamental que satisfaz

$\dot{𝐔}(t)=𝐀(t)𝐔(t)$ com condição inicial $𝐔(t_0)=I$ .

7 Dado o estado $𝐱(\tau )$ a qualquer momento $\tau$, o estado em qualquer outro momento $t$ é dado pelo mapeamento

$𝐱(t)=\mathrm{\Phi }(t,\tau )𝐱(\tau )$

Estimativa da matriz de transição de estado

No caso invariante no tempo, podemos definir $\mathrm{\Phi }$, usando a matriz exponencial, como $\mathrm{\Phi }(t,t_0)=e^{𝐀(t-t_0)}$ .

No caso da variante do tempo, a matriz de transição de estado $\mathrm{\Phi }(t,t_0)$ pode ser estimado a partir das soluções da equação diferencial $\dot{𝐮}(t)=𝐀(t)𝐮(t)$ com condições iniciais $𝐮(t_0)$ dado por $[1,0,\dots ,0{]}^T$, $[0,1,\dots ,0{]}^T$ ,. . ., $[0,0,\dots ,1{]}^T$ . As soluções correspondentes fornecem o $n$ colunas de matriz $\mathrm{\Phi }(t,t_0)$ . Agora, da propriedade 4, $\mathrm{\Phi }(t,\tau )=\mathrm{\Phi }(t,t_0)\mathrm{\Phi }(\tau ,t_0{)}^{-1}$ para todos $t_0\le \tau \le t$ . A matriz de transição de estado deve ser determinada antes que a análise da solução variável no tempo possa continuar.

Ver também

• Expansão Magnus
• Fórmula de Liouville

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