Matriz flecha

Na álgebra linear, uma matriz flecha ou matriz ponta de flecha é uma matriz quadrada que contém zeros em todas as entradas, exceto na primeira linha, primeira coluna e diagonal principal, essas entradas podem ser qualquer número. Em outras palavras, a matriz tem a forma

$A=\left[\begin{array}{ccccc}*& *& *& *& *\\ *& *& 0& 0& 0\\ *& 0& *& 0& 0\\ *& 0& 0& *& 0\\ *& 0& 0& 0& *\end{array}\right].$

Qualquer permutação simétrica da matriz ponta de flecha, $P^{T}AP$, onde $P$ é uma matriz de permutação, é uma matriz ponta de flecha (permutada). Matrizes ponta de flecha reais simétricas são usadas em alguns algoritmos para encontrar autovalores e autovetores.

Matrizes flecha reais simétricas

Seja $A$ uma matriz ponta de flecha real simétrica (permutada) da forma

$A=\left[\begin{array}{cc}D& z\\ z^T& \alpha \end{array}\right],$

onde $D=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2,\dots ,d_{n-1})$ é a matriz diagonal de ordem n-1,

$z={\left[\begin{array}{cccc}{\zeta }_1& {\zeta }_2& \cdots & {\zeta }_{n-1}\end{array}\right]}^T$ é um vetor e $\alpha$ é um escalar. Seja

$A=V\mathrm{\Lambda }{V}^T$

a decomposição de autovalores de $A$, onde $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$

é uma matriz diagonal cujos elementos diagonais são os autovalores de $A$, e $V=\left[\begin{array}{ccc}{v}_1& \cdots & v_n\end{array}\right]$

é uma matriz ortonormal cujas colunas são os autovetores correspondentes. O seguinte é válido:

• Se ${\zeta }_i=0$ para algum $i$, então o par $(d_i,e_i)$, onde $e_i$ é o i-ésimo vetor de base canônica, é um par próprio de $A$. Assim, todas essas linhas e colunas podem ser excluídas, deixando a matriz com todos ${\zeta }_i\ne 0$.
• O teorema do entrelaçamento de Cauchy implica que os autovalores classificados de $A$ entrelaçam os elementos classificados $d_i$: se $d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_{n-1}$ (isso pode ser alcançado por permutação simétrica de linhas e colunas sem perda de generalidade), e se os ${\lambda }_i$s são classificados de acordo, então ${\lambda }_1\ge d_1\ge {\lambda }_2\ge d_2\ge \cdots \ge {\lambda }_{n-1}\ge d_{n-1}\ge {\lambda }_n$.
• Se $d_i=d_j$, para algum $i\ne j$, a desigualdade acima implica que $d_i$ é um valor próprio de $A$. O tamanho do problema pode ser reduzido pela aniquilação de ${\zeta }_j$ com uma rotação de Givens no plano-$(i,j)$ e procedendo como acima.

Matrizes pontas de flecha simétricas surgem em descrições de transições sem radiação em moléculas isoladas e osciladores vibracionalmente acoplados a um líquido de Fermi.

Autovalores e autovetores

Uma matriz ponta de flecha simétrica é irredutível se ${\zeta }_i\ne 0$ para todo $i$ e $d_i\ne d_j$ para todo $i\ne j$. Os valores próprios de uma matriz ponta de flecha real simétrica irredutível são os zeros da equação secular

$f(\lambda )=\alpha -\lambda -\sum _{i=1}^{n-1}\frac{{\zeta }_i^2}{d_i-\lambda }\equiv \alpha -\lambda -z^T(D-\lambda I{)}^{-1}z=0$

que pode ser, por exemplo, calculado pelo método da bisseção. Os autovetores correspondentes são iguais a

$v_i=\frac{x_i}{\Vert x_i{\Vert }_2},x_i=\left[\begin{array}{c}{(D-{\lambda }_{i}I)}^{-1}z\\ -1\end{array}\right],i=1,\dots ,n.$

A aplicação direta da fórmula acima pode produzir autovetores que não são numericamente suficientemente ortogonais. O algoritmo progressivo estável que calcula cada autovalor e cada componente do autovetor correspondente com precisão quase total está descrito. A versão Julia do software está disponível.

Inversas

Seja $A$ uma matriz irredutível ponta de flecha simétrica real. E se $d_i=0$ para algum $i$, a inversa é uma matriz ponta de seta simétrica real irredutível permutada:

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{D}_1^{-1}& w_1& 0& 0\\ w_1^T& b& w_2^T& 1/{\zeta }_i\\ 0& w_2& D_2^{-1}& 0\\ 0& 1/{\zeta }_i& 0& 0\end{array}\right]$

onde

$\begin{array}{cc}{D}_1& =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_1,d_2,\dots ,d_{i-1}),\\ D_2& =\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(d_{i+1},d_{i+2},\dots ,d_{n-1}),\\ z_1& ={\left[\begin{array}{cccc}{\zeta }_1& {\zeta }_2& \cdots & {\zeta }_{i-1}\end{array}\right]}^T,\\ z_2& ={\left[\begin{array}{cccc}{\zeta }_{i+1}& {\zeta }_{i+2}& \cdots & {\zeta }_{n-1}\end{array}\right]}^T,\\ w_1& =-D_1^{-1}{z}_1\frac{1}{{\zeta }_i},\\ w_2& =-D_2^{-1}{z}_2\frac{1}{{\zeta }_i},\\ b& =\frac{1}{{\zeta }_i^2}(-a+z_1^T{D}_1^{-1}{z}_1+z_2^T{D}_2^{-1}{z}_2).\end{array}$

Se $d_i\ne 0$ para todo $i$, a inversa é uma modificação de posto-um de uma matriz diagonal (diagonal-mais-posto-um ou DMP1):

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{D}^{-1}& \\ & 0\end{array}\right]+\rho u{u}^T,$

onde

$u=\left[\begin{array}{c}{D}^{-1}z\\ -1\end{array}\right],\rho =\frac{1}{\alpha -z^T{D}^{-1}z}.$