Medida com operador positivo valorizado

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Em análise funcional e na teoria de medição quântica,[1][2][3] uma 'medida com operador positivo valorizado', ou POVM Predefinição:En, é uma medida cujos valores são operadores autoadjuntos não negativos em um espaço de Hilbert e cuja integral é o operador de identidade.[4][5][6] Historicamente, o termo medida de operador de probabilidade (POM) tem sido usado como sinônimo de POVM,[7] embora este uso seja presentemente raro.

Definição

No caso mais simples, um POVM é um conjunto de operadores semidefinídos positivos[8][9][10] Hermitianos {Fi} em um espaço de Hilbert ℋ que somam ao operador[11][12] de identidade,

∑i=1nFi=IH.

Esta fórmula é uma generalização da decomposição de um espaço de Hilbert (dimensional finito) por um conjunto de projetores ortogonais, {Ei}, definido para uma base ortogonal {|ϕi⟩} por:

∑i=1NEi=IH,EiEj=δijEi,Ei=|ϕi⟩⟨ϕi|.

Uma diferença importante é que os elementos de uma POVM não são necessariamente ortogonais, com a consequência de que o número de elementos na POVM, n, pode ser maior que a dimensão, N, do espaço de Hilbert em que atuam.

Em geral, os POVMs podem ser definidos em situações em que os resultados das medições tomam valores em um espaço não discreto. O fato relevante é que a medição determina uma medida de probabilidade no espaço do resultado seguindo a definição:

Deixe (X, M) ser espaço mensurável; que é "M" é uma álgebra σ de subconjuntos de X. Uma POVM é uma função F definida em M cujos valores são operadores autoadjunto não negativos limitados em um espaço de Hilbert H tal que F(X) = IH e para todo ξ ∈ H,

E↦⟨F(E)ξ∣ξ⟩ (for every E∈M)

é uma medida contavelmente aditiva[13][14] não-negativa sobre a álgebra-σ H. Essa definição deve ser contrastada com a da medida com valor de projeção, que é semelhante, exceto que para medidas com valor de projeção,[15][16][17] os valores de F são obrigados a serem operadores de projeção. Predefinição:Referências

Predefinição:Esboço-matemática

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  1. ↑ Predefinição:Citar livro
  2. ↑ Predefinição:Citar livro
  3. ↑ Gregg Jaeger, "Quantum randomness and unpredictability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A doi/10.1002/prop.201600053 (2016)|Online=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/prop.201600053/epdf PDF
  4. ↑ J. Preskill, Lecture Notes for Physics: [ http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture Quantum Information and Computation].
  5. ↑ K. Kraus, States, Effects, and Operations, Lecture Notes in Physics 190, Springer (1983).
  6. ↑ E.B.Davies, Quantum Theory of Open Systems, Academic Press (1976).
  7. ↑ Predefinição:Citar livro
  8. ↑ Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
  9. ↑ Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
  10. ↑ Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.
  11. ↑ Operator Theory for Electromagnetics: An Introduction por George W. Hanson, Alexander B. Yakovlev DOI:10.1007/978-1-4757-3679-3 (2013)
  12. ↑ WHAT IS AN OPERATOR SPACE? por William Arveson (2008)
  13. ↑ Lecture 2 : Countable additivity/ Finite additivity/ Continuity Predefinição:Wayback por Arabin Kumar Dey (2010)
  14. ↑ D.H. Fremlin Measure Theory, Volume 4, Torres Fremlin, 2003.
  15. ↑ Predefinição:Citation
  16. ↑ Predefinição:Citar livro
  17. ↑ Predefinição:Citar livro
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