Modelo FitzHugh–Nagumo

Gráfico da evolução temporal de $x(t)$ com parâmetros $a=0.7$, $b=0.8$, $c=3$ e $z=-0.4$ e condições iniciais $x(t)=2$ e $y(t)=1$.

O modelo FitzHugh–Nagumo é um dos principais modelos de disparos neuronais, ou seja, um dos principais modelos matemáticos que descrevem o formato do potencial de ação gerado nos neurônios. O modelo em questão faz referência a Richard FitzHugh (1922 – 2007), que sugeriu a criação do sistema em 1961 e a J. Nagumo et al., que criou o circuito equivalente no ano seguinte, descrevendo o protótipo de um sistema excitável, por exemplo, o de um neurônio.

O modelo pode ser visto como uma versão simplificada do modelo de Hodgkin-Huxley, que por sua vez, faz uma modelagem mais detalhada da ativação e desativação dos canais iônicos envolvidos na geração de um disparo neuronal. Nos artigos originais de FitzHugh, esse modelo foi chamado de oscilador Bonhoeffer–van der Pol (em homenagem a Karl Friedrich Bonhoeffer e Balthasar van der Pol), por ser uma generalização do anteriormente descrito oscilador de Van der Pol, sendo este um caso específico com os parâmetros $a=b=z=0$.

Modelo

O modelo de FitzHugh–Nagumo é um exemplo de sistema dinâmico excitatório-oscilatório com duas variáveis de estado. A principal delas, $x(t)$, é a variável relacionada ao potencial de membrana, enquanto $y(t)$ é responsável pela acomodação e resistência do sistema. Quanto aos parâmetros envolvidos, $a$ e $b$ são constantes que determinam o percurso descrito pelo sistema no espaço de fase, $c$ é uma constante adicionada por conveniência ainda no oscilador de Van der Pol e $z$ pode ser compreendido como um estímulo externo injetado no neurônio. Sendo assim, com exceção de $z$, os parâmetros não possuem equivalência com algum fenômeno biológico e são escolhidos apenas para se obter o formato semelhante ao de um disparo neuronal em $x(t)$.

O sistema de equações diferenciais ordinárias que rege esse modelo dinâmico é

$\{\begin{array}{cc}\dot{x}(t)& =c(-x^3(t)/3+x(t)+y(t)+z)\\ \dot{y}(t)& =-(x(t)-a+by(t))/c\end{array}$,

em que $\dot{x}(t)$ e $\dot{y}(t)$ representam, respectivamente, as primeiras derivadas temporais das variáveis $x(t)$ e $y(t)$.

Descrição

Espaço de fase e nullclines do sistema com parâmetros $a=0.7$, $b=0.8$, $c=3$ e $z=-0.4$ e condições iniciais $x(t)=2$ e $y(t)=1$.

Para que o modelo apresente o comportamento esperado, os parâmetros devem obedecer às condições $1-2b/3<a<1$, $0<b<1$ e $b<c^2$.

Nesse caso, a dinâmica do sistema pode ser descrita pelo zapping, uma alternância rápida, entre os ramos esquerdo e direito da nullcline cúbica referente à variável $x(t)$. Além dessa, o sistema também apresenta uma nullcline linear referente à variável $y(t)$. Ambas equações podem ser obtidas ao se igualar $\dot{x}(t)$ e $\dot{y}(t)$ a zero, resultando no par de equações

$\begin{array}{cc}y(t)& =x^3(t)/3-x(t)-z\\ y(t)& =(a-x(t))/b\end{array}$,

cuja intersecção dessas curvas é o ponto de equilíbrio do sistema.

Ver também

• Modelo Hodgkin-Huxley
• Modelos de disparos neuronais
• Neurociência computacional

Leituras adicionais

• FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257—278
• FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1–85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw–Hill Book Co., N.Y.)

Ligações externas

• O Modelo FitzHugh–Nagumo na Scholarpedia
• Interactive FitzHugh-Nagumo. Aplet Java, inlcuindo espaço fásico e parâmetros que podem ser editados em qualquer tempo.
• Interactive FitzHugh–Nagumo in 1D. Aplet Java para simular ondas 1D propagando numa estrutura anelar. Os parâmetros podem ser alterados.
• Interactive FitzHugh–Nagumo in 2D. Aplet Java para simular ondas 2D, inlcuindo ondas em espiral. Os parâmetros podem ser alterados.
• Java applet for two coupled FHN systems Options include time delayed coupling, self-feedback, noise induced excursions, data export to file. Source code available (BY-NC-SA license).

Predefinição:Referências