Métrica de Lévy–Prokhorov

Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.

Definição

Considere $(M,d)$ um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel $ℬ(M)$. Suponha que $𝒫(M)$ denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável $(M,ℬ(M))$.

Para um subconjunto

$A\subseteq M$

, defina a vizinhança

$\epsilon$

de

$A$

por:

$A^{\epsilon }:=\{p\in M|\mathrm{\exists }q\in A,d(p,q)<\epsilon \}=\bigcup _{p\in A}{B}_{\epsilon }(p),$

em que

$B_{\epsilon }(p)$

é a bola aberta de raio

$\epsilon$

centrada em

$p$

. A métrica de Lévy–Prokhorov

$\pi :𝒫(M{)}^2\to [0,+\mathrm{\infty })$

é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade

$\mu$

e

$\nu$

como:

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \{\epsilon >0|\mu (A)\le \nu (A^{\epsilon })+\epsilon \text{e}\nu (A)\le \mu (A^{\epsilon })+\epsilon \text{para todo }A\in ℬ(M)\},$

para medidas de probabilidade claramente

$\pi (\mu ,\nu )\le 1$

.

Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas $A$ aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e $(\overline{A}{)}^{\epsilon }=A^{\epsilon }$, mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se $M$ não for um espaço polonês).

Propriedades

• Se $(M,d)$ for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, $\pi$ é uma metrização da topologia de convergência fraca em $𝒫(M)$.
• O espaço métrico $(𝒫(M),\pi )$ é separável se e somente se $(M,d)$ for separável.
• Se $(𝒫(M),\pi )$ for completo, então, $(M,d)$ é completo. Se todas as medidas em $𝒫(M)$ tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se $(M,d)$ for completo, então, $(𝒫(M),\pi )$ é completo.
• Se $(M,d)$ for separável e completo, um subconjunto $𝒦\subseteq 𝒫(M)$ é relativamente compacto se e somente se seu $\pi$-fechamento for $\pi$-compacto.