Núcleo de Dirichlet

Gráfico do núcleo de Dirichlet para pequenos valores de n.

Em análise matemática, o núcleo de Dirichlet, nomeado em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, é o polinômio trigonométrico da forma $$D_n(x)=\frac{1}{L}(\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\cos \frac{k\pi x}{L}).$$ Este polinômio trigonométrico está definido para todo n inteiro positivo e é encontrado no estudo das séries de Fourier.

Forma complexa

Usando-se as expressões $\mathrm{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ e $\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, o núcleo de Dirichlet pode ser escrito na forma complexa como

$$D_n(x)=\frac{1}{2L}\left(\sum _{k=-n}^n{e}^{\frac{k\pi ix}{L}}\right)$$

Propriedades

Esboço de $D_n(x)$ para $x\in [-L,L]$, mostrando a convergência para a distribuição delta de Dirac.

• $D_n(x)$ é uma função periódica e de período 2L;
• $D_n(x)$ é uma função contínua;
• $D_n(x)$ é uma função par;
• $\underset{-L}{\overset{L}{\int }}{D}_n(x)dx=1$
• $D_n(0)=\frac{2n+1}{2L}$
• $D_n(x)=\frac{1}{2L}\frac{\mathrm{sen}(n+\frac{1}{2})\frac{\pi x}{L}}{\mathrm{sen}\frac{\pi x}{2L}}$, para $x\ne 0,\pm 2L,\pm 4L,...$

Demonstração da identidade trigonométrica

A identidade trigonométrica $$\sum _{k=-n}^n{e}^{\frac{ik\pi x}{L}}=\frac{\mathrm{sen}((n+1/2)\frac{\pi x}{L})}{\mathrm{sen}(\frac{\pi x}{2L})}$$ enunciada acima pode ser demonstrada conforme a seguir.

A fórmula para a soma de termos em progressão geométrica é dada por: $$\sum _{k=0}^{n}a{r}^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.$$

Em particular, tem-se: $$\sum _{k=-n}^n{r}^k=r^{-n}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.$$

Multiplicando tanto o numerador como o denominador por $r^{-\frac{1}{2}}$, obtemos: $$\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot \frac{1-r^{2n+1}}{1-r}=\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.$$

No caso $r=e^{\frac{i\pi x}{L}}$ esse expressão se torna: $$\sum _{k=-n}^n{e}^{\frac{ik\pi x}{L}}=\frac{e^{-(n+1/2)\frac{i\pi x}{L}}-e^{(n+1/2)\frac{i\pi x}{L}}}{e^{-\frac{i\pi x}{2L}}-e^{\frac{i\pi x}{2L}}}=\frac{-2i\mathrm{sen}((n+1/2)x)}{-2i\mathrm{sen}(x/2)}=\frac{\mathrm{sen}((n+1/2)\frac{\pi x}{L})}{\mathrm{sen}(\frac{\pi x}{2L})}$$ como desejado.

Predefinição:Referências