Nó toral

Nó toral 3-D

EureleA (Um Prêmio em forma de nó toral (2,3)).

Enlace toral(2,8)

Na teoria dos nós, um nó toral é um tipo especial de nó que pertence a uma superfície de um toro não atada em R³. Da mesma forma, um enlace toral é um enlace que se encontra na superfície de um toro de mesma forma. Cada nó toral é especificado por um par de números inteiros, que são primos entre si p e q. Um enlace toral surge se p e q não são primos entre si (caso em que o número de componentes é o mdc (p, q)). Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou -1. O exemplo mais simples de um nó não trivial é a do nó toral (2,3), também conhecido como o nó de trevo.

Nó toral (2,-3) conhecido como nó de trevo.

Representação geométrica

Um nó toral pode ser composto geometricamente em várias formas que são topologicamente equivalentes, mas geometricamente distintas. A convenção utilizada neste artigo e seus números, é a seguinte.

O nó toral (p,q) sendo q a quantidade de vezes que gira em torno de um círculo no interior do toro, e p a quantidade de vezes que gira em torno de seu eixo de simetria de rotação. Se p e q não são relativamente primos, então temos um toro de vínculo com mais de um componente.

A direção em que os fios do nó enrola em torno do too, também está sujeito a diferentes convenções. O mais comum é fazer com que os fios formem uma forma de parafuso para direita para que p, q > 0..

O nó toral (p,q) pode ser dado pela parametrização

$\begin{array}{cc}x& =r\cos (p\varphi )\\ y& =r\sin (p\varphi )\\ z& =-\sin (q\varphi )\end{array}$

onde $r=\cos (q\varphi )+2$ e $0<\varphi <2\pi$. Esta situa-se na superfície do toro por $(r-2{)}^2+z^2=1$ (em coordenadas cilíndricas).

Outras parametrizações também são possíveis, porque os nós são definidos sobre contínuas deformações. As ilustrações do nó toral (2,3) e (3,8) podem ser obtidas tomando-se $r=\cos (q\varphi )+4$ e no caso do nó (2,3) subtraindo-se, respectivamente, $3\cos ((p-q)\varphi )$ e $3\sin ((p-q)\varphi )$ acima das parametrizações de x e y. O último generaliza-se suavemente para quaisquer primos entre si , p,q satisfazendo $p<q<2p$.

Propriedades

Diagrama de um nó toral (3,-8).

Um nó toral é trivial se, e somente se, ou p ou q é igual a 1 ou-1.

Cada nó toral não trivial é primo e quiral.

O nó toral (p,q) é equivalente ao nó toral (q,p). Isso pode ser comprovado pelo movimento dos fios na superfície do toro, que é muito bem ilustrado Predefinição:Citar web. O nó (p,−q) é o contrário (imagem espelhada) do nó (p,q). O nó (−p,−q) é equivalente a (p,q), exceto pela inversão da orientação.

O nó toral (3, 4) aberto sobre um superfície do toro

Qualquer nó toral(p,q) pode ser feita a partir de uma trança fechada com p fios. O expressão da trança adequada é

$({\sigma }_1{\sigma }_2\cdots {\sigma }_{p-1}{)}^q.$

O número de cruzamentos de a no nó toral(p,q) com p,q > 0 é dada por

c = min((p−1)q, (q−1)p).

O gênero de um nó toral com p,q > 0 é

$g=\frac{1}{2}(p-1)(q-1).$

O polinômio de Alexander de um nó toral é

$\frac{(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^p-1)(t^q-1)}.$

O polinômio de Jones (destros) do nó toral é dado por

$t^{(p-1)(q-1)/2}\frac{1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^2}.$

O complemento de um nó toral na 3-esfera é uma variedade de fibra Seifert, fibrado sobre o disco com duas fibras singulares.

Tomando Y como a concavidade p de um chapéu de burro com um disco removido de seu interior, Z sendo a concavidade q de um chapéu de burro com um disco removido e o seu interior, e X o quociente do espaço obtido através da identificação de Y e Z , ao longo de seu limite de círculo. O complemento do nó de um nó toral (p, q) retrai deformações para o espaço X. Portanto, o grupo de nós de um nó toral tem a seguinte característica:

$⟨x,y\mid x^p=y^q⟩.$${\displaystyle }$

Nós torais são apenas nós cujo grupos de nó não-triviais do centro (o que é um ciclo infinito, gerado pelo elemento ${\displaystyle }$ na apresentação acima).

O fator de alongamento de um nó toral (p,q) , como uma curva no espaço Euclidiano, é Ω(min(p,q)), para o nó toral que estiver acoplado em fatores de alongamento. O pesquisador John Pardon ganhou em 2012 o prêmio Morgan por sua pesquisa provar este resultado, resolvendo um problema originalmente colocado por Mikhail Gromov.

Ligação de hipersuperfícies complexas

O nó toral (p,q) surge quando considera-se o enlace de uma isolada hipersuperfície complexa singular. Uma intersecção de uma hipersuperfície complexa com uma hiperesfera, centrada no ponto singular isolado, e com o raio suficientemente pequeno para que ele não inclua e nem encontre, quaisquer outros pontos singulares. A intersecção dá uma subvariedade da hiperesfera.

Seja p e q inteiros, primos entre si e maiores ou iguais a dois. Considere a função holomorfa $f:{ℂ}^2\to ℂ$ dada por $f(w,z):=w^p+z^q.$ Temos $V_f\subset {ℂ}^2$ sendo o conjunto $(w,z)\in {ℂ}^2$ tal que $f(w,z)=0.$Dado um número real $0<\epsilon \ll 1,$ definimos o real na 3-esfera ${𝕊}_{\epsilon }^3\subset {ℝ}^4\hookrightarrow {ℂ}^2$ como dado por $|w{|}^2+|z{|}^2={\epsilon }^2.$ A função $f$ tem um ponto crítico isolado em $(0,0)\in {ℂ}^2$ visto que $\partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0$ se, e somente se $w=z=0.$ Assim, consideramos a estrutura $V_f$ fechada em $(0,0)\in {ℂ}^2.$ Para fazer isso, consideramos a interseção $V_f\cap {𝕊}_{\epsilon }^3\subset {𝕊}_{\epsilon }^3.$ Essa intersecção é chamada também de enlace de sigularidade $f(w,z)=w^p+z^q.$ O enlace de $f(w,z)=w^p+z^q$, onde p e q são primos entre si, e ambos maiores ou iguais a dois, sendo exatamente o nó toral(p, q).

Ver também

• Nó de torção
• Nó de trevo
• Nó figura oito

Ligações externas

• Predefinição:Citar web
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