Operador projeção ortogonal

Predefinição:Sem-fontes Em matemática, sobretudo na análise funcional define-se operador projeção ortogonal, ou simplesmente, projetor ortogonal como um operador linear limitado $P:H\to H$ em um espaço de Hilbert $H$ que satisfaz:

• $P^2=P$(P é idempotente)

• $P=P^{*}$(P é auto adjunta)

A projeção ortogonal, é uma projeção cuja Imagem $I$e o núcleo $N$ são Ortogonais. Isto é, para todo $x$ e $y$ em $H$,

$⟨Px,(y-Py)⟩=⟨(x-Px),Py⟩=0$. De forma equivalente:

$⟨x,Py⟩=⟨Px,Py⟩=⟨Px,y⟩$

Uma projeção é ortogonal se e só se é auto adjunta. Usando a propriedade auto adjunta e idempotencia de P, para quaisquer $x$ e $y$ em $H$ temos que $Px\in I$, $y-Py\in N$e além disso

$⟨Px,y-py⟩=⟨P^{2}x,y-Py⟩=⟨Px,P(I-P)y⟩=⟨Px,(P-P^2)y⟩=0$

Onde $⟨.,.⟩$ é o produto interno associado com $H$. Portanto, $P$ e $I-P$ são projeções ortogonais.

A outra direção, isto é, se $P$ é ortogonal então é auto adjunta segue de:

$⟨x,Py⟩=⟨Px,y⟩=⟨x,P^{*}y⟩$ para todo $x$ e $y$ em $H$

Portanto $P=P^{*}$

Propriedades

• O operador $Q$ definido como $Q=I-P$ é chamado de complemento ortogonal de P e, como é fácil ver, também um projetor ortogonal com a seguinte propriedade adicional:
  $⟨Px,Qy⟩=⟨QPx,y⟩=⟨(I-P)Px,y⟩=⟨(P-P^2)x,y⟩=0$

• Uma projeção ortogonal é um operador limitado. Isso é porque para todo $v$ no espaço vetorial nós temos, por conta da desigualdade de Cauchy-Schwarz:
  $\Vert Pv{\Vert }^2=⟨Pv,Pv⟩=⟨Pv,v⟩\le \Vert Pv\Vert \cdot \Vert v\Vert$
  Então $\Vert Pv\Vert \le \Vert v\Vert$

Bibliografia

• Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc.

Ver também

• Operador auto-adjunto