Partição multiplicativa

Na teoria dos números, uma partição multiplicativa ou fatoração não ordenada de um inteiro n é uma maneira de escrever n como um produto de inteiros maiores que 1, tratando dois produtos como equivalentes se eles diferirem apenas na ordem dos fatores. O próprio número n é considerado um desses produtos. As partições multiplicativas são paralelas ao estudo das partições multipartidas, discutido em Predefinição:Harvtxt, que são partições aditivas de sequências finitas de inteiros positivos, com a adição feita pontualmente. Embora o estudo das partições multiplicativas esteja em andamento desde pelo menos 1923, o nome "partição multiplicativa" parece ter sido introduzido por Predefinição:Harvtxt. O nome latino "factorisatio numerorum" foi usado anteriormente. O MathWorld usa o termo fatoração não ordenada.

Exemplos

• O número 20 tem quatro partições multiplicativas: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 e 20.
• 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 e 81 são as cinco partições multiplicativas de 81 = 34. Por ser a quarta potência de um primo, 81 tem o mesmo número (cinco) de partições multiplicativas como 4 faz de partições aditivas.
• O número 30 tem cinco partições multiplicativas: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.
• Em geral, o número de partições multiplicativas de um número inteiro sem fator quadrático com i fatores primos é o i-ésimo número de Bell, B_i

Aplicação

Predefinição:Harvtxt descrevem uma aplicação de partições multiplicativas na classificação de inteiros com um determinado número de divisores. Por exemplo, os inteiros com exatamente 12 divisores assumem as formas p¹¹, p × q⁵, p² × q³ e p × q × r², onde p, q e r são números primos distintos; essas formas correspondem às partições multiplicativas 12, 2 × 6, 3 × 4 e 2 × 2 × 3, respectivamente. Mais geralmente, para cada partição multiplicativa

$k=\prod t_i$

do inteiro k, corresponde a uma classe de inteiros tendo exatamente k divisores, da forma

$\prod p_i^{t_i-1},$

onde cada p_i é um primo distinto. Essa correspondência decorre da propriedade multiplicativa da função de divisor.

Limites no número de partições

Predefinição:Harvtxt credita a Predefinição:Harvtxt o problema de contar o número de partições multiplicativas de n; este problema foi estudado por outros sob o nome latino de factorisatio numerorum. Se o número de partições multiplicativas de n for a_n, McMahon e Oppenheim observaram que sua função geradora de série de Dirichlet f(s) tem a representação do produto

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}=\prod _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1-k^{-s}}.$

A sequência de números a_n começa

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, ... Predefinição:OEIS.

Oppenheim também reivindicou um limite superior em a_n, da forma

$a_n\le n{(\exp \frac{\log n\log \log \log n}{\log \log n})}^{-2+o(1)},$

mas como Predefinição:Harvtxt mostraram, este limite é errôneo e o verdadeiro limite é

$a_n\le n{(\exp \frac{\log n\log \log \log n}{\log \log n})}^{-1+o(1)}.$

Ambos os limites não estão longe de ser lineares em n: eles são da forma n^1−o(1). No entanto, o valor típico de a_n é muito menor: o valor médio de a_n, calculado em um intervalo x ≤ n ≤ x+N, é

$\overline{a}=\exp \left(\frac{4\sqrt{\log N}}{\sqrt{2e}\log \log N}\right(1+o(1)\left)\right),$

um limite que tem a forma n^o(1) (Predefinição:Harv).

Resultados adicionais

Predefinição:Harvtxt observam, e Predefinição:Harvtxt provam, que a maioria dos números não pode surgir como o número a_n de partições multiplicativas de algum n: o número de valores menores que N que surgem desta forma é N^{O(log log log N / log log N)}. Além disso, Predefinição:Harvtxt mostram que a maioria dos valores de n não são múltiplos de a_n: o número de valores n ≤ N tal que a_n divide n é O(N / log^{1 + o(1)} N).

Ver também

• Divisor
• Partição (teoria dos números)

Referências

• Predefinição:Citation, capítulo 12.
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• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation. Citado por MathWorld.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.
• Predefinição:Citation.

Leitura adicional

• Predefinição:Citation

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld (em inglês)