Pente de Dirac

Gráfico de comb(x/τ). A função é par e tem período τ.

Em matemática, o Pente de Dirac é uma distribuição (ou função generalizada) obtida a partir do Delta de Dirac. Em engenharia elétrica, também recebe os nomes de função sha ( ou shah), trem de impulsos e função de amostragem. É definida da maneira seguinte, como um conjunto infinito de impulsos unitários, espaçados de uma unidade:

$comb(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-k)(1)$

onde $\delta (x)$ é o Delta de Dirac e $k$ é um número inteiro.

Alguns autores usam para denotá-la o símbolo Ш (letra cirílica sha), por brevidade. Esse símbolo alude, evidentemente, à forma do seu gráfico em coordenadas cartesianas (ver figura ao lado).

A distribuição é periódica com período = 1. Pode-se definir a distribuição de uma forma mais genérica, com período τ, da maneira seguinte:

$comb\left(\frac{x}{\tau }\right)=|\tau |\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x-\frac{k}{\tau })(2)$.

Propriedades

Propriedades elementares

Algumas propriedades são evidentes, a partir da definição:

$comb(-x)=comb(x)(3a)$

$comb(x+n)=comb(x)|n\in \mathbb{Z}(3b)$

$comb(x-\frac{1}{2})=comb(x+\frac{1}{2})(3c)$

$\underset{n-\frac{1}{2}}{\overset{n+\frac{1}{2}}{\int }}comb(x)dx=1|n\in \mathbb{Z}(3d)$

$comb(x)=0|x\in ̸\mathbb{Z}(3e)$

Amostragem

O Pente de Dirac exibe a propriedade de, para qualquer função $f(x)$,

$comb(x)\cdot f(x)=f(k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k)\cdot \delta (x-k)(3f)$

A propriedade dada por (3f) é o que torna o Pente de Dirac importante na Teoria da Amostragem. A multiplicação de comb(x) a uma função qualquer f(x) resulta numa sequência f(k) que espelha os valores originais em pontos específicos e anula o resto. Daí decorre que

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}comb(x)\cdot f(x)dx=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(k)(3g)$

Outra propriedade útil está relacionada à convolução:

$comb(x)*f(x)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x-k)(3h)$

A convolução com o Pente de Dirac gera uma sequência em que os valores de f(x) em determinados instantes são replicados periodicamente. Se f(x) ≠ 0 para |x| > 1, haverá superposição entre os valores mas, no caso de f(x) ≠ 0 apenas para |x| < 1, a sequência resultante será periódica com período igual a uma unidade.

Série de Fourier

É evidente a partir da definição da própria função que o Pente de Dirac ${comb}_T(x)$ é periódico com período $T$. De modo que:

${comb}_T(x+T)={comb}_T(x)$ $,\mathrm{\forall }x$.

A Série de Fourier da função na forma exponencial é do tipo:

${comb}_T(x)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{2\pi in\frac{x}{T}}$

cujos coeficientes de Fourier, $c_n$ são:

$\begin{array}{cc}{c}_n& =\frac{1}{T}\underset{x_0}{\overset{x_0+T}{\int }}{comb}_T(x)e^{-2\pi in\frac{x}{T}}dx(-\mathrm{\infty }<x_0<+\mathrm{\infty })\\ & =\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}{comb}_T(x)e^{-2\pi in\frac{x}{T}}dx\\ & =\frac{1}{T}\underset{-\frac{T}{2}}{\overset{\frac{T}{2}}{\int }}\delta (x)e^{-2\pi in\frac{x}{T}}dx\\ & =\frac{1}{T}{e}^{-2\pi in\frac{0}{T}}\\ & =\frac{1}{T}.\end{array}$

Logo, todos os coeficientes são iguais a $\frac{1}{T}$ e sua representação em Série de Fourier é:

${comb}_T(x)=\frac{1}{T}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2\pi in\frac{x}{T}}(3i)$

Transformada de Fourier

O Pente de Dirac exibe a propriedade de invariância em relação ao operador Transformada de Fourier:

$ℱ\{comb(x)\}=comb(f)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\cdot 2\pi f\cdot k}=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (f-k)(3j)$

(a definição do Delta de Dirac no domínio da frequência é $\delta (f)=e^{-i\cdot 2\pi f}$ ).

Extensão para espaços com mais dimensões

As expressões (1) e (2) definem o Pente de Dirac em um espaço euclideano bidimensional, isto é, com uma variável independente x. Essas definições podem ser generalizadas facilmente de modo a contemplar espaços com mais dimensões. A expressão

${}^{2}comb(x,y)=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{}^2\delta (x-j,y-k)(4)$

define o Pente de Dirac com duas variáveis independentes x e y, uma distribuição conhecida como cama de pregos (ing. "bed of nails"). ²δ(x,y) é a generalização do Delta de Dirac para duas variáveis independentes x e y: ²δ(x,y) = δ(x)·δ(y). Da mesma forma,

${}^{3}comb(x,y,z)=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{}^3\delta (x-j,y-k,z-l)(5)$

define o Pente de Dirac para três variáveis independentes x, y e z. Expressões similares podem ser escritas para dimensões superiores.

Equivalentes multidimensionais da expressão (2) seguem a forma seguinte:

${}^{2}comb(\frac{x}{{\tau }_x},\frac{y}{{\tau }_y})=|{\tau }_x\cdot {\tau }_y|\cdot \sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{}^2\delta (x-\frac{j}{{\tau }_x},y-\frac{k}{{\tau }_y})(6a)$

${}^{3}comb(\frac{x}{{\tau }_x},\frac{y}{{\tau }_y},\frac{z}{{\tau }_z})=|{\tau }_x\cdot {\tau }_y\cdot {\tau }_z|\cdot \sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{}^3\delta (x-\frac{j}{\tau },y-\frac{k}{{\tau }_y},z-\frac{l}{{\tau }_z})(6b)$

Propriedades

A distribuição ²comb(x,y) exibe as seguintes propriedades notáveis:

${}^{2}comb(x,y)=comb(x)\cdot comb(y)(7a)$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)\cdot {}^{2}comb(x,y)dxdy=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(j,k)(7b)$

${}^{2}comb(x+m,y+n)={}^{2}comb(x,y)|m,n\in \mathbb{Z}(7c)$

$f(x,y)\cdot {}^{2}comb(x,y)=\sum _{j=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(j,k)\cdot {}^2\delta (x-j,y-k)(7d)$

e, inclusive com relação à transformação de Fourier:

${}^2ℱ\{{}^{2}comb(x,y)\}={}^{2}comb(x,y)(7e)$

As propriedades (7b), (7c), (7d) e (7e) são extensões multidimensionais das propriedades (3g), (3b), (3f) e (3i), respectivamente.

Propriedades semelhantes podem ser deduzidas para pentes de ordem maior.

Outras funções importantes em espaços multidimensionais

Em um espaço com duas variáveis independentes, a distribuição comb(x) denota uma grade composta por planos paralelos ao eixo Y, e comb(y), uma grade com planos paralelos ao eixo X. comb(x)·δ(y) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo X, e comb(y)·δ(x) denota uma linha de impulsos dispostos ao longo do eixo Y. Ainda mais interessante é a seguinte propriedade:

${}^2ℱ\{comb(x)\}=comb(x)\cdot \delta (y)(7f)$

${}^2ℱ\{comb(x)\cdot \delta (y)\}=comb(x)(7g)$

Pente geométrico de Dirac

Em algumas aplicações, é conveniente definir o pente geométrico de Dirac

${\mathrm{\Delta }}_a^r(\nu )=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{-kr}\cdot \delta (\nu -a^k)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}^{kr}\cdot \delta (\nu -a^{-k})|a\in ℛ,a>0(8a)$

O nome deve-se ao fato de os valores da função formarem uma progressão geométrica com razão a; o pente de Dirac "comum" recebe às vezes o nome de pente aritmético de Dirac para evitar confusões.