Produtos notáveis

Predefinição:Multitag No cálculo algébrico, Produtos Notáveis são produtos de expressões algébricas que representam determinadas expressões que aparecem com muita frequência. São utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e evitar erros com sinais.

Quadrado da soma de dois termos

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2.$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot (a+b)+b\cdot (a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

• Exemplo:
  1. ${(\frac{4x}{5y}+z)}^2=(\frac{4x}{5y}+z)\cdot (\frac{4x}{5y}+z)=\frac{4x}{5y}\cdot (\frac{4x}{5y}+z)+z\cdot (\frac{4x}{5y}+z)=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{4xz}{5y}+\frac{4xz}{5y}+z^2=\frac{16x^2}{25y^2}+\frac{8xz}{5y}+z^2$
  2. $(8x+a{)}^2=(8x+a)\cdot (8x+a)=8x\cdot (8x+a)+a\cdot (8x+a)=64x^2+8ax+8ax+a^2=64x^2+16ax+a^2$

Quadrado da diferença de dois termos

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo, subtraído o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a-b{)}^2=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot (a-b)-b\cdot (a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

• Exemplos:
  1. ${(\frac{3m}{4n}-p)}^2=\frac{9m^2}{16n^2}-\frac{3mp}{2n}+p^2$
  2. $(1-2x{)}^2=1-4x+4x^2$

Produto da soma pela diferença de dois termos

$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

Regra básica: Quadrado do primeiro termo subtraído o quadrado do segundo termo.

• Prova: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2+ab\cdot (1-1)-b^2=a^2-b^2$

• Exemplos:
  1. $(a^2+b^3)\cdot (a^2-b^3)=a^4-a^2{b}^3+a^2{b}^3-b^6=a^4+a^2{b}^3\cdot (1-1)-b^6=a^4-b^6$
  2. $(\frac{a}{x}+2).(\frac{a}{x}-2)=\frac{a^2}{x^2}-\frac{2a}{x}+\frac{2a}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}+\frac{2a\cdot (1-1)}{x}-4=\frac{a^2}{x^2}-4$

Cubo da soma de dois termos

Decomposição volumétrica do binômio ao cubo

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

Regra básica: O cubo do primeiro termo, somado o triplo do produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, somado ao cubo do segundo termo.

• Exemplos:
  1. $(m+3n{)}^3=m^3+3\cdot m^2\cdot 3n+3\cdot m\cdot (3n{)}^2+(3n{)}^3=m^3+9m^{2}n+27m{n}^2+27n^3$
  2. $(x+2{)}^3=x^3+6x^2+12x+8$
  3. $(a+3b{)}^3=a^3+9a^{2}b+27a{b}^2+27b^3$

Cubo da diferença de dois termos

$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

Regra básica: Para calcular o cubo da diferença faça: O cubo do 1° termo, subtraído o triplo do produto do quadrado do 1° termo pelo segundo termo, somado ao triplo do produto do 1° termo pelo quadrado do 2° termo, subtraído o cubo do 2° termo.

• Prova:

$(a-b{)}^3=(a-b)\cdot (a-b{)}^2=(a-b)\cdot (a^2-2ab+b^2)=a^3-2a^{2}b+a{b}^2-a^{2}b+2a{b}^2-b^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

• Exemplos:
  1. $(b-2c{)}^3=b^3-6b^{2}c+12b{c}^2-8c^3$
  2. ${(\frac{x}{y}-\frac{a}{b})}^3=\frac{x^3}{y^3}-\frac{3a{x}^2}{b{y}^2}+\frac{3a^{2}x}{b^{2}y}-\frac{a^3}{b^3}$
  3. $(1-x{)}^3=1-3x+3x^2-x^3$

Quadrado da soma de três termos

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

• Prova:

$(a+b+c{)}^2=a^2+ab+ac+b^2+ab+bc+ac+bc+c^2$

$\to (a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

• Exemplos:
  1. $(x+y+z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz$
  2. $(x-2y-3{)}^2=x^2+(-2y{)}^2+(-3{)}^2+2x(-2y)+2x(-3)+2(-2y)(-3)$
  3. $(5x+4y+15z{)}^2=25x^2+16y^2+225z^2+40xy+75xz+60yz$

Produto de Stevin (produto de 2 binômios com um termo comum)

$(x+a)\cdot (x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

• Prova:

$(x+a)\cdot (x+b)=x\cdot (x+b)+a\cdot (x+b)=x^2+bx+ax+ab\Rightarrow x^2+(a+b)x+ab$

• Exemplos:
  1. $(x+4)\cdot (x+3)=x^2+(4+3)\cdot x+4\cdot 3=x^2+7x+12$
  2. $(x-2)\cdot (x-6)=x^2+(-2-6)\cdot x+(-2)\cdot (-6)=x^2-8x+12$
  3. $(x-1)\cdot (x+5)=x^2+(-1+5)\cdot x+5\cdot (-1)=x^2+4x-5$

Este tipo de produto notável pode ser usado para resolver equações polinomiais.

Assumindo uma equação polinomial de grau 2 podemos escrevê-la como:

$a{x}^2+bx+c=0$ ou $x^2-x\cdot (x_1+x_2)+x_1{x}_2=0$

Onde a segunda pode ser fatorada como $(x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$ e a primeira, como consequência, será: $a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0$

Produto de Warring

Caso 1

$(a+b)\cdot (a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$

• Prova: Considerando $(a+b)\cdot (a^2-ab+b^2),$ temos:

$(a+b)\cdot (a^2-ab+b^2)=a^3-a^{2}b+a{b}^2+a^{2}b-a{b}^2+b^3=a^3+b^3.$

• Exemplo:

1. $(x+5)\cdot (x^2-5x+25)=x^3+5^3=x^3+125$
2. $(2x+3)\cdot (4x^2-6x+9)=(2x{)}^3+3^3=8x^3+27$

Caso 2

$(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$

• Prova: Considerando $(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2),$ temos:

$(a-b)\cdot (a^2+ab+b^2)=a^3+a^{2}b-a{b}^2-a^{2}b+a{b}^2-b^3=a^3-b^3$

• Exemplo
  • $(x-3)\cdot (x^2+3x+9)=x^3-3^3=x^3-27$

Ver também

Equação polinomial

Ligações externas

• Produtos Notáveis