Progressão aritmética

Uma progressão aritmética (abreviadamente, P. A.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante $r .$ O número $r$ é chamado de razão ou diferença comum da progressão aritmética.^[1]^[2]^[3]

Definição

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica $(a_{n})_{n \in ℕ}$ definida recursivamente por:^[2]^[3]

$a_{n} = a_{n - 1} + r, n > 1,$

onde o primeiro termo, $a_{1},$ é um número dado. O número $r$ é chamado de razão da progressão aritmética.

Notamos que:

$r = a_{n} - a_{n - 1}, n > 1 .$

Exemplos

Alguns exemplos de progressões aritméticas:

$(1, 4, 7, 10, 13, \dots)$ é uma progressão aritmética em que o primeiro termo $a_{1}$ é igual a $1$ e a razão $r$ é igual a $3 .$
$(- 2, - 4, - 6, - 8, - 10, \dots)$ é uma P.A. em que $a_{1} = - 2$ e $r = - 2 .$
$(6, 6, 6, 6, 6, \dots)$ é uma P.A. com $a_{1} = 6$ e $r = 0 .$

Fórmula do termo geral

O n-ésimo termo de uma progressão aritmética, denotado por $a_{n},$ pode ser obtido por meio da fórmula:^[1]^[2]^[3] $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r,$ em que:

$a_{1}$ é o primeiro termo;
$r$ é a razão.

Demonstração

A fórmula do termo geral pode ser demonstrada por indução matemática:

Ela é válida para o segundo termo pois, por definição, cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r e portanto $a_{2} = a_{1} + 1 \cdot r;$
Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para $n - 1,$ ou seja, que $a_{n - 1} = a_{1} + (n - 2) \cdot r,$ resulta que o n-ésimo termo é dado por:

$a_{n} = a_{n - 1} + r = (a_{1} + (n - 2) \cdot r) + r = a_{1} + ((n - 2) \cdot r + r) = a_{1} + (n - 1) \cdot r .$

Propriedades

Como consequência direta da fórmula do termo geral, vemos que o $n$ -ésimo termo de uma P.A. pode ser obtido como função do $m$ -ésimo termo por:

$a_{n} = a_{m} + (n - m) \cdot r .$

efeito, $a_{m} + (n - m) r = a_{1} + (m - 1) r + (n - m) r = a_{1} + (n - 1) r = a_{n} .$

Além disso, também é consequência direta da fórmula do termo geral que:

$a_{n} = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}, n > 1$

ou seja, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor. De fato:

$\frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2} = \frac{a_{1} + (n - 2) r + a_{1} + n r}{2} = \frac{2 (a_{1} + (n - 1) r)}{2} = a_{n} .$

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos de uma progressão aritmética situados no intervalo fechado de $a_{p}$ até $a_{q}$ é dada pelo produto do número de termos no intervalo, (q - p + 1), pela média aritmética dos extremos do intervalo. Ou seja, pela seguinte fórmula: $S_{(p, q)} = \frac{(q - p + 1) \cdot (a_{p} + a_{q})}{2} .$

Em particular, para somar os n primeiros termos, pode-se utilizar a seguinte simplificação da fórmula anterior: $S_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2}$ ou $S_{n} = \frac{n}{2} \cdot (a_{1} + a_{n})$

Exemplo: Seja $P A = (10, 8, 6, 4, 2),$ qual é a soma dos 4 primeiros números?

$\begin{matrix} S_{4} & = \frac{4}{2} \cdot (10 + 4) \\ S_{4} & = 2 \cdot 14 \\ S_{4} & = 28 \end{matrix}$

Demonstrações

Considerando a PA $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n - 1}, a_{n}),$ a soma $S_{n}$ de todos os termos dessa progressão pode ser escrita assim:

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{n - 1} + a_{n}$ $S_{n} = a_{n} + a_{n - 1} + . . . + a_{2} + a_{1}$

Somando membro a membro, obtemos:

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + . . . + (a_{n - 1} + a_{2}) + (a_{n} + a_{1})$ $2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{2} + a_{n - 1}) + . . . + (a_{2} + a_{n - 1}) + (a_{1} + a_{n})$

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação aos extremos da PA

$(a_{2} + a_{n - 1}) = (a_{1} + r + a_{n} - r) = (a_{1} + a_{n})$ $(a_{3} + a_{n - 2}) = (a_{1} + 2 r + a_{n} - 2 r) = (a_{1} + a_{n})$

e assim por diante

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n}) + . . . + (a_{1} + a_{n}) + (a_{1} + a_{n})$

Então, como há $n$ pares de termos:

$2 S_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot n$ $S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$

Interpolação aritmética

Dada uma sequência finita $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}),$ chamamos $a_{1}$ e $a_{n}$ de termos extremos e os demais de termos meios. Interpolação aritmética é o procedimento de inserir (interpolar) $k$ meios entre dois números dados $a$ e $b,$ de forma a obtermos uma progressão aritmética de $n = k + 2$ termos, sendo $a$ e $b$ seus extremos.^[2]

A P.A. que corresponde a interpolação aritmética de $k$ termos meios entre dois números dados $a$ e $b$ tem primeiro termo $a_{1} = a$ e razão:

$r = \frac{b - a}{k + 1} .$

Com efeito, vemos que tomando $n = k + 2,$ temos a fórmula do termo geral da P.A. nos garante que:

$a_{n} = a + (k + 2 - 1) \frac{b - a}{k + 1} = b$

como queríamos.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas constantes:

$(5, 5, 5, 5, 5, 5, \dots)$ tem razão r = 0
$(0, 0, 0, 0, 0, 0, \dots)$ tem razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas crescentes:

$(2, 4, 6, 8, 10, \dots)$ com razão r = 2
$(3, 6, 9, 12, 15, \dots)$ com razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).^[2]^[3]

Exemplos de progressões aritméticas decrescentes:

$(6, 4, 2, 0, - 2, \dots)$ tem razão igual a -2
$(6, 3, 0, - 3, - 6, \dots)$ tem razão igual a -3

Progressão aritmética de segunda ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem é uma sequência de números $(a_{n})$ em que as diferenças entre os termos consecutivos $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ forma uma progressão aritmética.^[4] Por exemplo, a sequência:

$(1, 3, 7, 13, 21, 31, \dots)$

uma progressão aritmética de segunda ordem, onde a diferença entre os termos consecutivos $(Δ a_{n})$ é uma progressão aritmética de primeiro termo $Δ a_{1} = 2$ e razão $r = 2 .$

De forma geral, uma progressão aritmética de ordem $k \geq 2$ é uma sequência de números em que as diferenças entre termos consecutivos formam uma progressão aritmética de ordem $k - 1 .$ .^[4]^[5]

Progressão aritmética de ordem qualquer

Generalizando-se para o caso de uma sequência de ordem k, as fórmulas abaixo se aplicam para uma sequência de qualquer ordem. O primeiro termo dessa sequência é aqui designado por $r_{0},$ a razão primária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência primária) por $r_{1}$ a razão secundária (diferença entre dois termos consecutivos na sequência formada pelas razões primárias) por $r_{2}, .$ .. a razão de ordem k por $r_{k} .$ De modo semelhante ao fato de dois pontos serem suficientes para se determinar uma reta, com dois valores de uma sequência de ordem 1 (linear) e a posição que ocupam, é possível escrever a equação dessa sequência. Para uma sequência de ordem 2, são necessários e suficientes 3 valores. Em geral, para uma sequência de ordem $k$ são necessários $k + 1$ valores. Para uma sequência de ordem k, o termo geral é calculado por: $a_{n} = \sum_{m = 0}^{k} (\binom{n - 1}{m}) r_{m}$

Nota: os coeficientes $(\binom{n - 1}{m})$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como: $(\binom{n - 1}{m}) = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - m)! (m)!},$ onde $n$ e $m$ são inteiros, $m \leq n - 1$ e $x! = 1 \times 2 \times \dots x$ é o fatorial de x.

O coeficiente binomial $(\binom{n - 1}{m})$ corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n-1 elementos agrupados m a m.

A soma dos primeiros termos da sequência ( $S_{n}$ ) é calculada por:

$S_{n} = \sum_{m = 0}^{k} (\binom{n}{m + 1}) r_{m}$

Análise Polinomial

Até o momento discutimos Progressão Ariméticas de ordem qualquer por meio de uma abordagem por fórmulas extensas e de pouca implementação computacional.

Porém, podemos estudar elas por meio de polinômios na variável n e grau k ou k+1 (no qual k representa a ordem da sequência analisada). Assim reduzindo o problema à uma resolução de sistema linear, extremamente importante ao utilizar um computador.

Ordem 1

Vamos começar com um caso simples que é o da progressão aritmética clássica.

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$

Imediato que a fórmula do termo geral é um polinômio na variável n com grau 1.

$S_{n} = a_{1} \cdot n + \frac{n (n - 1)}{2} \cdot r$

Que novamente é imediato que temos uma fórmula da soma dos n primeiros termos como um polinômio na variável n com grau 2.

O sutil é ver aqui que temos apenas 2 coeficientes a determinar já que o termo independente é nulo nesse caso. Portanto, para determinarmos tanto $S_{n}$ quanto $a_{n}$ precisamos de duas equações, logo dois elementos da sequência, para determinarmos a fórmula geral (como um polinômio em n) por meio de um sistema linear 2 X 2.

Ordem 2

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r_{1} + \frac{(n - 1) (n - 2)}{2} r_{2}$

$S_{n} = a_{1} \cdot n + \frac{n (n - 1)}{2} \cdot r_{1} + \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6} \cdot r_{2}$

Com essas duas fórmulas já demonstradas verifica-se as mesmas coisas concluídas para uma progressão aritmética de ordem 1. Portanto para o termo geral achamos um polinômio de grau 2, e para a soma dos n elementos um polinômio de grau 3 com termo independente nulo.

Ordem K

Para uma progressão aritmética de grau K, podemos concluir por indução e um pouco de álgebra as seguintes ideias:

a) O termo geral pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K, portanto temos K+1 coeficientes a determinar.

B) A fórmula da soma dos n elementos pode ser interpretado por um polinômio na variável n com grau K + 1 (termo independente nulo), portanto também K+1 coeficientes a determinar.

A beleza dessas conclusões se dá no fato de que com K + 1 elementos da sequência pode-se obter todos seus elementos tanto quanto a soma dos mesmos. O que acontece é que com essa quantia obtemos implicitamente todas as razões parciais, dessa forma, obtendo todas as informações necessárias sem nem mesmo percebemos.

Exemplificando: 1) Determinar o termo geral da sequência {4, 9, 16, 25, 36, 49...}. Sendo $a_{n}$ o n-ésimo termo dessa sequência. É possível ver que se trata de uma sequência de segunda ordem porque a razão secundária é constante (neste caso é igual a 2), como mostrado abaixo. Generalizando, em uma sequência de ordem k, a sua razão de ordem k é constante. $r_{0} = a_{1} = 4$ $r_{1} = a_{2} - a_{1} = 9 - 4 = 5$ $r_{2} = (16 - 9) - (9 - 4) = 2$ $r_{2} = (25 - 16) - (16 - 9) = 2$ $r_{2} = (36 - 25) - (25 - 16) = 2$ $⋮$ $r_{2} = (a_{n} - a_{n - 1}) - (a_{n - 1} - a_{n - 2}) = 2$

Aplicando-se a fórmula: $a_{n} = \sum_{m = 0}^{2} (\binom{n - 1}{m}) r_{m} = (\binom{n - 1}{0}) r_{0} + (\binom{n - 1}{1}) r_{1} + (\binom{n - 1}{2}) r_{2}$

$a_{n} = (\binom{n - 1}{0}) 4 + (\binom{n - 1}{1}) 5 + (\binom{n - 1}{2}) 2$

$a_{n} = 4 + 5 (n - 1) + \frac{2 (n - 1) (n - 2)}{2} = 1 + 2 n + n^{2} = (n + 1)^{2}$

$a_{n} = (n + 1)^{2}$ 2) Encontrar a soma dos n primeiros termos dessa sequência ( $S_{n}$ ). De modo semelhante ao realizado acima: $S_{n} = \sum_{m = 0}^{2} (\binom{n}{m + 1}) r_{m}$

$S_{n} = (\binom{n}{1}) 4 + (\binom{n}{2}) 5 + (\binom{n}{3}) 2$

$S_{n} = n (4 + \frac{5 (n - 1)}{2} + \frac{(n - 1) (n - 2)}{3})$

3) Em uma sequência de terceira ordem, o sétimo termo é igual a 345, o décimo termo é igual a 1002, o décimo quinto termo é igual a 3377 e o vigésimo quinto termo é igual a 15627.

a) Determine o trigésimo termo dessa sequência.

b) Escreva a equação que determina o n-ésimo termo dessa sequência em função de

n .

a) Usando-se os dados fornecidos (em azul) na fórmula do $r_{n} :$ $a_{n} = \sum_{m = 0}^{k} (\binom{n - 1}{m}) r_{m}$

$a_{7} = \sum_{m = 0}^{3} (\binom{7 - 1}{m}) r_{m} = \sum_{m = 0}^{3} (\binom{6}{m}) r_{m} .$

Como $a_{7} = 345,$ vem:

$345 = r_{0} + r_{1} (\binom{6}{1}) + r_{2} (\binom{6}{2}) + r_{3} (\binom{6}{3})$

Da mesma forma, para os outros dados: $1002 = r_{0} + r_{1} (\binom{10 - 1}{1}) + r_{2} (\binom{10 - 1}{2}) + r_{3} (\binom{10 - 1}{3}) = r_{0} + r_{1} (\binom{9}{1}) + r_{2} (\binom{9}{2}) + r_{3} (\binom{9}{3})$

$3377 = r_{0} + r_{1} (\binom{15 - 1}{1}) + r_{2} (\binom{15 - 1}{2}) + r_{3} (\binom{15 - 1}{3}) = r_{0} + r_{1} (\binom{14}{1}) + r_{2} (\binom{14}{2}) + r_{3} (\binom{14}{3})$

$15627 = r_{0} + r_{1} (\binom{25 - 1}{1}) + r_{2} (\binom{25 - 1}{2}) + r_{3} (\binom{25 - 1}{3}) = r_{0} + r_{1} (\binom{24}{1}) + r_{2} (\binom{24}{2}) + r_{3} (\binom{24}{3})$ Desenvolvendo-se as expressões acima, obtemos esse sistema de equações lineares: $\begin{matrix} r_{0} + 6 r_{1} + 15 r_{2} + 20 r_{3} = 345 \\ r_{0} + 9 r_{1} + 36 r_{2} + 84 r_{3} = 1002 \\ r_{0} + 14 r_{1} + 91 r_{2} + 364 r_{3} = 3377 \\ r_{0} + 24 r_{1} + 276 r_{2} + 2024 r_{3} = 15627 \end{matrix}$ O conjunto solução desse sistema $(S)$ é: $S = {\begin{matrix} r_{0} = 3 \\ r_{1} = 7 \\ r_{2} = 12 \\ r_{3} = 6 \end{matrix}}$ Aplicando-se a fórmula para o caso $n = 30,$ obtemos $a_{30} :$ $a_{30} = \sum_{m = 0}^{3} (\binom{30 - 1}{m}) r_{m}$ $a_{30} = r_{0} + r_{1} (\binom{30 - 1}{1}) + r_{2} (\binom{30 - 1}{2}) + r_{3} (\binom{30 - 1}{3}) = r_{0} + r_{1} (\binom{29}{1}) + r_{2} (\binom{29}{2}) + r_{3} (\binom{29}{3})$ $a_{30} = 3 + 7 (\binom{30 - 1}{1}) + 12 (\binom{30 - 1}{2}) + 6 (\binom{30 - 1}{3}) = 3 + 7 (\binom{29}{1}) + 12 (\binom{29}{2}) + 6 (\binom{29}{3})$ Calculando-se a expressão acima, obtém-se: $a_{30} = 27002$

b) De modo semelhante ao usado no exemplo 1, agora que possuímos os valores das razões

r_{0}, r_{1}, r_{2}

e

r_{3},

basta substituir os seus valores na fórmula de

a_{n} :

$a_{n} = \sum_{m = 0}^{k} (\binom{n - 1}{m}) r_{m}$ $a_{n} = \sum_{m = 0}^{3} (\binom{n - 1}{m}) r_{m}$ $a_{n} = 3 + 7 (\binom{n - 1}{1}) + 12 (\binom{n - 1}{2}) + 6 (\binom{n - 1}{3}) .$ Logo: $a_{n} = n^{3} + 2$ Obs. Uma das propriedades dos números binomiais, a relação de Sfifeel, diz que: $(\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m + 1}) = (\binom{n}{m + 1}) .$ Isso permite verificar uma propriedade de autoconsistência das fórmulas:

$\begin{matrix} \underset{⏟}{\sum_{m = 0}^{k} (\binom{n - 1}{m}) r_{m}} \\ a_{n} \end{matrix} + \begin{matrix} \underset{⏟}{\sum_{m = 0}^{k} (\binom{n - 1}{m + 1}) r_{m}} \\ S_{n - 1} \end{matrix} = \begin{matrix} \underset{⏟}{\sum_{m = 0}^{k} (\binom{n}{m + 1}) r_{m}} \\ S_{n} \end{matrix}$ Considerando-se também o princípio da indução matemática e uma das propriedades dos somatórios,

$\sum_{i = m}^{n} (x_{i} \pm y_{i}) = \sum_{i = m}^{n} x_{i} \pm \sum_{i = m}^{n} y_{i}$ que, multiplicando-se os dois lados da equação por um número $r,$ esta se torna:

$(\sum_{i = m}^{n} (x_{i} \pm y_{i})) \cdot r = (\sum_{i = m}^{n} x_{i}) \cdot r \pm (\sum_{i = m}^{n} y_{i}) \cdot r$

esse fato já demonstra as fórmulas apresentadas sobre as sequências aritméticas de ordem $n .$ A fórmula é válida para $n = {1, 2, \dots},$ ou seja,

$\begin{matrix} \underset{⏟}{S_{0}} \\ 0 \end{matrix} = S_{1} - a_{1},$

$S_{1} (= a_{1}) = S_{2} - a_{2},$

$\dots$

$S_{n - 1} (= a_{n - 1}) = S_{n} - a_{n},$ que equivale à expressão mostrada acima.

Progressões Aritmético-Geométricas

São progressões aritméticas e geométricas ao mesmo tempo. Considere uma seqüência $(a_{n})$ cujo termo geral é $a_{n} = (a_{0} + n r) q^{n},$ com $n \in ℕ .$

Veja que se $q = 1$ ela se reduz à fórmula do termo geral de uma progressão aritmética ( $a_{n} = a_{0} + n r$ ) e se $r = 0,$ temos a fórmula de uma progressão geométrica, ( $a_{n} = a_{0} \cdot q^{n}$ ).

A fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos dessa sequência^[6] é:

$S_{n} = \frac{a_{0} + q \cdot (q^{n} (a_{0} + r \cdot (1 - n) - a_{0} q - 1) - a 0 + r)}{(q - 1)^{2}}$

Ver também

Predefinição:Referências

Ligações externas

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA - Exercício

Predefinição:Séries (matemáticas) Predefinição:Portal3

↑ ^1,0 ^1,1 Predefinição:Citar livro
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Predefinição:Citar livro
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Predefinição:Citar livro
↑ ^4,0 ^4,1 Predefinição:Citar livro
↑ Predefinição:Citar livro
↑ Revista Eureka! nº 14 (página 34), da Sociedade Brasileira de Matemática. < http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka14.pdf >

[Spiegel-Moyer-1] 1,0 ^1,1 Predefinição:Citar livro

[:0-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 Predefinição:Citar livro

[:1-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Predefinição:Citar livro

[:2-4] 4,0 ^4,1 Predefinição:Citar livro

[5] Predefinição:Citar livro

[6] Revista Eureka! nº 14 (página 34), da Sociedade Brasileira de Matemática. < http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka14.pdf >

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Progressão aritmética

Índice

Definição

Exemplos

Fórmula do termo geral

Demonstração

Propriedades

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Demonstrações

Interpolação aritmética

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Progressão aritmética crescente

Progressão aritmética decrescente

Progressão aritmética de segunda ordem

Progressão aritmética de ordem qualquer

Análise Polinomial

Ordem 1

Ordem 2

Ordem K

Progressões Aritmético-Geométricas

Ver também

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