Quase em todo o lado

Predefinição:Sem notas Quase em todo o lado ou quase por todo o lado (abreviatura: q.t.l.) é um termo da teoria da medida aplicável a propriedades que só não são válidas em conjuntos de medida nula (o que define uma relação de equivalência em medida).

Eis alguns teoremas que envolvem o termo "quase em todo o lado":

• Se f : R → R é uma função integrável à Lebesgue e f(x) ≥ 0 q.t.l., então

$\int f(x)dx\ge 0.$

• Se f : [a, b] → R é uma função monótona, então f é diferenciável q.t.p.
• Se f : R → R é mensurável à Lebesgue e

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx<\mathrm{\infty }$

para todos os reais a < b, existe um conjunto de medida nula E (dependente de f) tal que, se x não pertence a E, a média de Lebesgue

$\frac{1}{2ϵ}\underset{x-ϵ}{\overset{x+ϵ}{\int }}f(t)dt$

converge para f(x) ao $ϵ$ decrescer para zero. Ou seja, a média de Lebesgue de f converge para f q.t.p.. O conjunto E é o chamado conjunto de Lebesgue de f, e tem medida zero.

Referências gerais

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