Radiciação

Predefinição:Operações Matemáticas A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a divisão é o inverso da multiplicação. Para um número real $a$, a expressão $\sqrt[n]{a}$ representa o único número real x que verifica $x^n=a,$ e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omisso, significa que $n=2$ e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. O valor de $x$ constitui a raiz, $n$ o índice, $a$ o radicando e o símbolo $\sqrt{}$ o radical. Quando $n=3$, trata-se de uma raiz cúbica.

Um erro comum é achar que a raiz par de um número, em especial a raiz quadrada, deve ser "mais ou menos" $a$. Isso advém do fato de os estudantes, quando aprendem a resolver equações quadráticas como $x^2=4$, acharem que isso é equivalente a tirar a raiz: não é. De fato, existem dois valores $\pm 2$ que satisfazem $x^2=4$. No entanto, existe apenas uma resposta para $\sqrt{4}$ que é $2$. Trata-se de uma convenção matemática a ideia de que a radiciação de índice par de um número positivo será o número positivo que, elevado a este expoente, resulta no radicando.

A radiciação leva este nome porque, para um quadrado de área $a$, o lado deste quadrado medirá $\sqrt{a}$. É fácil verificar para $a=100$, quando se nota que o lado desde quadrado deve ser $10$. O mesmo raciocínio em se tratando de $n=3$. Há uma colocação de algarismos na raiz quadrada. EX: $\sqrt{9}$ (esse número se chama radical que vem da potência $3^2,$ também conhecida como 3 ao quadrado. Quem vem a ser $3*3$ e não $3*2$).

História

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, e o primeiro uso foi de Al-Qalasadi (1421-1486), e que o símbolo vem da letra árabe ج, a primeira letra da palavra "Jadhir".

Muitos, incluindo Leonard Euler, acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra radix que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

Propriedades

Para a e b positivos tem-se:

• $\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$
• $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
• $\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
• $(\sqrt[n]{a}{)}^m=\sqrt[n]{a^m}$
• $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
• $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
• $\sqrt[n]{a^n}=a$
• $\sqrt[2]{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt[2]{a+\frac{\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt[2]{a-\frac{\sqrt{a^2-b}}{2}}$

Porém:

• $\sqrt[n]{x+y}\ne \sqrt[n]{x}+\sqrt[n]{y}$
• $\sqrt[n]{x-y}\ne \sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{y}$

Sendo assim, a separação de uma raiz em duas ou mais é válida apenas para a multiplicação e a divisão, sendo diferente na adição e na subtração.

Simplificação de radicais

Trata-se do processo através do qual simplifica-se os radicais, sejam eles números ou polinômios, que possuam ou não raízes exatas com o intuito de deixá-los com uma forma mais compacta que permite a facilitação dos cálculos onde eles estejam envolvidos. Esse processo se dá através de técnicas matemáticas como a decomposição em fatores primos, ou seja, a fatoração e as propriedades dos radicais.

Exemplos:

$a)\sqrt[3]{16}$

Decompomos 16 em fatores primos:

Fatoração do 16

Assim temos:

$\sqrt[3]{16}=\sqrt[3]{2^4}=\sqrt[3]{2^3}.\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}.$

$b)\sqrt{160}$

Decompomos 160 em fatores primos:

Fatoração do 160

Assim temos:

$\sqrt{160}=\sqrt{2^5.5}=\sqrt{2^4.2.5}=\sqrt{2^2}.\sqrt{2^2}.\sqrt{2.5}=2.2.\sqrt{2.5}=4.\sqrt{10}$

$c)\sqrt[3]{a^3{b}^2}$

Temos:

$\sqrt[3]{a^3{b}^2}=\sqrt[3]{a^3}.\sqrt[3]{b^2}=a\sqrt[3]{b^2}$

$d)\sqrt{25a^2{b}^7}$

Temos:

$\sqrt{25a^2{b}^7}=\sqrt{5^2.a^2.b^6.b}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{b^6}.\sqrt{b}=5a{b}^3\sqrt{b}$

Operações com radicais

Para se efetuar operações entre radicais é necessário aplicar as suas propriedades, propriedades operatórias da adição e multiplicação de números reais, e ainda, se for o caso, simplificação de radicais, fatoração, entre outras. Abaixo seguem alguns exemplos:

$a)4\sqrt{2}+6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}(4+6-3)=7\sqrt{2}$

$b)4\sqrt{12}+6\sqrt{75}=4.2\sqrt{3}+6.5\sqrt{3}=8\sqrt{3}+30\sqrt{3}=38\sqrt{3}$

$c)6\sqrt[5]{3}.4\sqrt[5]{2}=(6.4).(\sqrt[5]{3}.\sqrt[5]{2})=24\sqrt[5]{6}$

$d)12\sqrt[3]{10}:4\sqrt[3]{5}=\frac{12\sqrt[3]{10}}{4\sqrt[3]{5}}=\frac{12}{4}.\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{5}}=3.\sqrt[3]{\frac{10}{5}}=3\sqrt[3]{2}$

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização de fração.

Exemplos: $$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$$ $$\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$$

Algoritmo de extração de raiz quadrada

Segue abaixo uma animação que demonstra um algoritmo de extração da raiz quadrada.

Ver também

• Raiz quadrada
• Logaritmo
• Exponenciação