Spin-½

Predefinição:Física Nuclear Na mecânica quântica, o spin é uma propriedade intrínseca de todas as partículas elementares. Os férmions têm spin semi-inteiro e partículas de spin-½ constituem um subconjunto importante de tais férmions. Todos os férmions elementares conhecidos têm spin-½. O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valores complexos com dois componentes chamados de espinores.

Descrição matemática

O estado quântico de uma partícula de spin-½ pode ser descrito por um vetor de valor complexo com dois componentes chamados: um espinor. Estados observáveis das partículas são então encontrada pelos spin operadores, S_x, S_y e S_z, e o spin operador total, "S". Quando os espinores são usados para descrever os estados quânticos, os três spins operadores (S_x, S_y e S_z), podem ser descritos por matrizes 2x2 chamada matrizes de Pauli cujos autovalores são ±Predefinição:Frac.

Por exemplo, a projeção do operador de spin S_z afeta uma medição da rotação na direção z.

$S_z=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_z=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Os dois autovalores de S_z, ±Predefinição:Frac, então correspondem aos seguintes auto espinores:

${\chi }_{+}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=|s_z=+\frac{1}{2}⟩=|\uparrow ⟩=|0⟩$

${\chi }_{-}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=|s_z=-\frac{1}{2}⟩=|\downarrow ⟩=|1⟩.$

Esses vetores formam uma base completa para o espaço de Hilbert descrevendo a partícula spin-½. Assim, combinações lineares destes dois estados podem representar todos os possíveis estados do spin, inclusive na direções x e y.

Os operadores escada são:

$S_{+}=\hslash \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],S_{-}=\hslash \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]$

Desde de que S_±=S_x±iS_y, S_x=Predefinição:Frac(S₊+S_-), e S_y=Predefinição:Frac(S₊-S_-). Então:

$S_x=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_x=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$S_y=\frac{\hslash }{2}{\sigma }_y=\frac{\hslash }{2}\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$

Seus auto-espinores normalizados podem ser encontrados na forma habitual. Para S_x, eles são:

${\chi }_{+}^{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=|s_x=+\frac{1}{2}⟩$

${\chi }_{-}^{(x)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]=|s_x=-\frac{1}{2}⟩$

Para S_y, eles são:

${\chi }_{+}^{(y)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right]=|s_y=+\frac{1}{2}⟩$

${\chi }_{-}^{(y)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right]=|s_y=-\frac{1}{2}⟩$