Subaditividade

Predefinição:Mais notas Em matemática, a subaditividade é uma propriedade de uma função que afirma, grosso modo, que avaliar a função para a soma de dois elementos do domínio sempre retorna algo menor ou igual à soma dos valores da função em cada elemento. Existem inúmeros exemplos de funções subaditivas em várias áreas da matemática, particularmente normas e raízes quadradas . Mapas aditivos são casos especiais de funções subaditivas.

Definições

Uma função subaditiva é uma função $f:A\to B$, com um domínio A e um codomain B ordenado, ambos fechados em adição, com a seguinte propriedade:

$\mathrm{\forall }x,y\in A,f(x+y)\le f(x)+f(y).$

Um exemplo é a função de raiz quadrada, com números reais não negativos como domínio e codomain, pois $\mathrm{\forall }x,y\ge 0$ temos:

$\sqrt{x+y}\le \sqrt{x}+\sqrt{y}.$

Uma sequência $\left\{a_n\right\},n\ge 1$, é chamado subaditivo se satisfizer a desigualdade

$(1)a_{n+m}\le a_n+a_m$

para todos m e n . Este é um caso especial de função subaditiva, se uma sequência for interpretada como uma função no conjunto de números naturais.

Propriedades

Sequências

Um resultado útil referente a sequências subaditivas é o seguinte lema devido a Michael Fekete .

Lema Subaditivo de Fekete: Para cada sequência subaditiva ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, o limite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{n}$ existe e é igual ao mínimo $\inf \frac{a_n}{n}$ . (O limite pode ser $-\mathrm{\infty }$ . )

O análogo do lema de Fekete também vale para seqüências superaditivas, ou seja: $a_{n+m}\ge a_n+a_m.$ (O limite pode ser infinito positivo: considere a sequência $a_n=\log n!$ . )

Existem extensões do lema de Fekete que não exigem que a desigualdade (1) seja válida para todos m e n, mas apenas para m e n de modo que $\frac{1}{2}\le \frac{m}{n}\le 2.$ Além disso, a condição $a_{n+m}\le a_n+a_m$ pode ser enfraquecido da seguinte forma: $a_{n+m}\le a_n+a_m+\varphi (n+m)$ providenciou que $\varphi$ é uma função crescente, de modo que a integral $\int \varphi (t)t^{-2}dt$ converge (próximo ao infinito).

Há também resultados que permitem deduzir a taxa de convergência ao limite cuja existência é afirmado no lema de Fekete se algum tipo de ambos superaditividade e sub aditividade está presente.

Além disso, os análogos do lema de Fekete foram comprovados para mapas reais subaditivos (com suposições adicionais) de subconjuntos finitos de um grupo favorável , e ainda mais, de um semigrupo de esquerda cancelável.

Funções

Teorema: Para cada função subaditiva mensurável $f:(0,\mathrm{\infty })\to ℝ,$ o limite $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(t)}{t}$ existe e é igual a $\underset{t>0}{\inf }\frac{f(t)}{t}.$ (O limite pode ser $-\mathrm{\infty }.$ )

Se f for uma função subaditiva e se 0 estiver em seu domínio, então f (0) ≥ 0. Para ver isso, pegue a desigualdade no topo. $f(x)\ge f(x+y)-f(y)$ . Consequentemente $f(0)\ge f(0+y)-f(y)=0$

Uma função côncava $f:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ com $f(0)\ge 0$ também é subaditivo. Para ver isso, primeiro observa-se que $f(x)\ge \frac{y}{x+y}f(0)+\frac{x}{x+y}f(x+y)$ . Então, olhando a soma deste limite para $f(x)$ e $f(y)$, finalmente verificará se f é subaditivo.

O negativo de uma função subaditiva é superaditivo .

Exemplos em vários domínios

Entropia

A entropia desempenha um papel fundamental na teoria da informação e na física estatística, bem como na mecânica quântica em uma formulação generalizada devido a von Neumann . A entropia aparece sempre como uma quantidade subaditiva em todas as suas formulações, o que significa que a entropia de um super-sistema ou de uma união de variáveis aleatórias é sempre menor ou igual à soma das entropias de seus componentes individuais. Além disso, a entropia na física satisfaz várias desigualdades mais estritas, como a Subaditividade Forte da Entropia na mecânica estatística clássica e seu análogo quântico.

Economia

A subaditividade é uma propriedade essencial de algumas funções de custo específicas. É, geralmente, uma condição necessária e suficiente para a verificação de um monopólio natural . Isso implica que a produção de apenas uma empresa é socialmente menos cara (em termos de custos médios) do que a produção de uma fração da quantidade original por um número igual de empresas.

Economias de escala são representadas por funções de custo médio subaditivo.

Exceto no caso de bens complementares, o preço dos bens (em função da quantidade) deve ser subaditivo. Caso contrário, se a soma do custo de dois itens for mais barata que o custo do pacote de dois deles juntos, ninguém jamais comprará o pacote, fazendo com que o preço do pacote "se torne" a soma dos preços de os dois itens separados. Provando assim que não é uma condição suficiente para um monopólio natural; uma vez que a unidade de troca pode não ser o custo real de um item. Essa situação é familiar a todos na arena política, onde alguma minoria afirma que a perda de alguma liberdade específica em um determinado nível de governo significa que muitos governos são melhores; enquanto a maioria afirma que existe outra unidade de custo correta.  

Finança

A subaditividade é uma das propriedades desejáveis de medidas coerentes de risco no gerenciamento de riscos . A intuição econômica por trás da subaditividade da medida de risco é que uma exposição ao risco da carteira deve, na pior das hipóteses, simplesmente igual à soma das exposições ao risco das posições individuais que compõem a carteira. Em qualquer outro caso, os efeitos da diversificação resultariam em uma exposição da carteira menor que a soma das exposições individuais ao risco. A falta de subaditividade é uma das principais críticas dos modelos de VaR que não se baseiam na suposição de normalidade dos fatores de risco. O VaR gaussiano garante subaditividade: por exemplo, o VaR gaussiano de um portfólio de duas posições longas unitárias $V$ no nível de confiança $1-p$ ou seja, assumindo que a variação do valor médio da carteira seja zero e o VaR seja definido como uma perda negativa,

${\text{VaR}}_p\equiv z_p{\sigma }_{\mathrm{\Delta }V}=z_p\sqrt{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y}$

Onde $z_p$ é o inverso da função de distribuição cumulativa normal no nível de probabilidade $p$, ${\sigma }_x^2,{\sigma }_y^2$ são as posições individuais retorna variações e ${\rho }_{xy}$ é a medida de correlação linear entre os retornos de duas posições individuais. Como a variação é sempre positiva,

$\sqrt{{\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2+2{\rho }_{xy}{\sigma }_x{\sigma }_y}\le {\sigma }_x+{\sigma }_y$

Assim, o VaR gaussiano é subaditivo para qualquer valor de ${\rho }_{xy}\in [-1,1]$ e, em particular, é igual à soma das exposições individuais ao risco quando ${\rho }_{xy}=1$ que é o caso de nenhum efeito de diversificação no risco da carteira.

Termodinâmica

A subaditividade ocorre nas propriedades termodinâmicas de soluções e misturas não ideais, como o volume molar em excesso e o calor da misura ou entalpia em excesso.

Combinatória em palavras

Uma linguagem fatorial $L$ é aquele em que se houver uma palavra $L$, todos os fatores dessa palavra também estão em $L$ . Na combinatória de palavras, um problema comum é determinar o número $A(n)$ de comprimento $n$ palavras em uma linguagem fatorial. Claramente $A(m+n)\le A(m)A(n)$, tão $\log A(n)$ é subaditivo e, portanto, o lema de Fekete pode ser usado para estimar o crescimento de $A(n)$