Série de potências

Uma série de potências é uma série que depende de um parâmetro $x$, da seguinte forma:

$S(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n$

o número $x_0$, a sequência $a_n$ e o parâmetro $x$ podem ser em geral números complexos.

A convergência da série de potências depende da distância entre $x$ e $x_0$ no plano complexo:

$|x-x_0|$

Essas séries de potências aparecem primariamente em análise, mas também ocorre em combinatória (sob o nome de funções geradoras) e em engenharia elétrica (sob o nome de Transformada Z).

História

O primeiro que usou séries e potências para resolver problemas foi Isaac Newton, em 1665.

Newton provou o teorema binomial:

$(1+x{)}^r=1+rx+\frac{r(r-1)}{2!}{x}^2+\frac{r(r-1)(r-2)}{3!}{x}^3+\dots$

que era conhecido para valores naturais de r, e o generalizou para valores racionais, positivos ou negativos, de r.

Em seguida, Newton desenvolveu as séries de potências para seno, cosseno, tangente, arco seno, arco cosseno, arco tangente e a função $\ln (1+x)$.

Série de Taylor

Uma função analítica num ponto $x_0$ é uma função cujas derivadas de qualquer ordem existem nesse ponto. Nesse caso a função pode ser representada por uma série de potências convergente em $x_0$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots$

as derivadas de $f$ calculam-se derivando o termo dentro da série, por exemplo, as duas primeiras derivadas são:

$\begin{array}{cc}& f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{a}_n(x-x_0{)}^{n-1}=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0{)}^2+\cdots \\ & f^{″}(x)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n(x-x_0{)}^{n-2}=2a_2+6a_3(x-x_0)+12a_4(x-x_0{)}^2+\cdots \end{array}$

Se substituirmos $x=x_0$ nas séries para $f$, $f^{\prime }$ e $f^{″}$ vemos que:

$a_0=f(x_0)a_1=f^{\prime }(x_0)2a_2=f^{″}(x_0)$

em geral,

$n!a_n=f^{(n)}(x_0)$

e a série de Taylor de $f$ escreve-se:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

No caso particular $x_0=0$ obtém-se a chamada série de Maclaurin. Onde o raio de convergência da série é igual à distância entre $x_0$ e o ponto singular de $f$ mais próximo.

Algumas séries de Maclaurin importantes

• Série geométrica

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$

 para x, em valor absoluto, menor que 1.

• Função exponencial

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$

• Funções trigonométricas

$\begin{array}{cc}& \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\end{array}$

Método das séries

Consideremos a equação diferencial linear, homogênea de segunda ordem

$P(x)y^{″}+Q(x)y^{\prime }+R(x)y=0$

em que $P$, $Q$ e $R$ são polinômios. Muitos problemas de engenharia conduzem a equações dessa forma.

A partir do teorema de existência e unicidade para equações lineares, vemos que os pontos singulares são as raízes do polinômio $P(x)$. Se o ponto $x=0$ não for raiz de $P(x)$, a solução da equação diferencial será uma função analítica em $x=0$ e, portanto, existirá a série de Maclaurin para a solução $y(x)$:

$y(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

A obtenção da solução é equivalente à obtenção da sequência $a_n$. A equação de diferenças que define a sequência $a_n$ é obtida por substituição da série de Maclaurin (e das suas derivadas) na equação diferencial.

Equação de Airy

Um exemplo de uma equação linear muito simples que não pode ser resolvida pelos métodos convencionais das equações diferenciais e que pode ser resolvida pelo método das séries, é a equação de Airy:

$y^{″}=xy$

O polinômio $P$ é neste caso igual a 1, de maneira que a solução será analítica em $x=0$ e poderá ser escrita como uma série de Maclaurin:

$y(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$

A segunda derivada é:

$y^{″}(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n{x}^{n-2}$

e substituindo na equação diferencial

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n(n-1)a_n{x}^{n-2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{n+1}=0$

para agrupar as duas séries numa única série de potências, escrevemos a primeira série numa forma equivalente: podemos incrementar em 3 unidades o índice $n$, dentro da série, se subtrairmos 3 aos limites do somatório; a série resultante será idêntica à série inicial

$\sum _{n=-3}^{\mathrm{\infty }}(n+3)(n+2)a_{n+3}{x}^{n+1}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^{n+1}=0$

Na primeira série os dois primeiros termos ($n=-3$ e $n=-2$) são nulos e o terceiro termo ($n=-1$) pode ser escrito explicitamente; a série resultante começa desde $n=0$, podendo ser agrupada à segunda série:

$2a_2+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_n]x^{n+1}=0$

no lado esquerdo da equação temos uma série de potências em que o coeficiente de ordem zero é $2a_2$ e os coeficientes de ordem superior a zero são o termo dentro dos parêntesis quadrados, com $n=0,1,2,\dots$ Para que a série de potências seja nula em qualquer ponto $x$, é necessário que todos os coeficientes sejam nulos:

$2a_2=0$

$(n+3)(n+2)a_{n+3}-a_n=0(n=0,1,2,\dots )$

Temos transformado o problema num problema de equações de diferenças.

A equação de diferenças obtida é uma equação incompleta, de terceira ordem e a sua solução consiste em três sucessões independentes para os coeficientes de ordem múltiplo de 3, múltiplo de 3 mais 1, e múltiplo de 3 mais 2.

Como $a_2=0$, os coeficientes de ordem múltiplo de 3 mais 2 são todos nulos. Para obter as outras duas sequências podemos usar o método estudado no capítulo anterior: para $n=3m$, definindo $u_m=a_{3m}$ obtemos:

$9(m+1)(m+2/3)u_{m+1}-u_m=0$

em termos de fatoriais e funções gama temos:

$(m+1)(m+2/3)=\frac{(m+1)!\mathrm{\Gamma }(m+5/3)}{m!\mathrm{\Gamma }(m+2/3)}$

Usando a substituição:

$x_m=m!\mathrm{\Gamma }(m+2/3)u_m$

a Equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

$9x_{m+1}-x_m=0$

A solução pode agora ser obtida facilmente:

$\begin{array}{cccc}& x_m& =& \frac{x_0}{(-9{)}^m}\\ & a_{3m}& =& u_m=\frac{(-1{)}^m\mathrm{\Gamma }(2/3)}{m!\mathrm{\Gamma }(m+2/3)9^m}{a}_0\end{array}$

Para calcular a sequência correspondente a $n=3m+1$, procedemos em forma semelhante. Em função de $v_m=a_{3m+1}$, a fórmula de recorrência (Equação) é uma equação de primeira ordem:

$9(m+1)(m+4/3)v_{m+1}-v_m=0$

e com a substituição

$z_m=m!\mathrm{\Gamma }(m+4/3)v_m$

a equação transforma-se numa equação de coeficientes constantes:

$9z_{m+1}-z_m=0$

com solução:

$\begin{array}{cccc}& z_m& =& \frac{z_0}{(-9{)}^m}\\ & a_{3m+1}& =& v_m=\frac{(-1{)}^m\mathrm{\Gamma }(4/3)a_1}{m!\mathrm{\Gamma }(m+4/3)9^m}\end{array}$

Finalmente, substituimos $a_n$ na série de Maclaurin para obter a solução da equação diferencial:

$y(x)=a_0\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m\mathrm{\Gamma }(2/3)}{m!\mathrm{\Gamma }(m+2/3)9^m}{x}^{3m}+a_{1}x\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m\mathrm{\Gamma }(4/3)}{m!\mathrm{\Gamma }(m+4/3)9^m}{x}^{3m}$

onde $a_0$ e $a_1$ são duas constantes arbitrárias (condições iniciais para $y$ e $y^{\prime }$ em $x=0$). Em alguns casos as séries obtidas podem ser identificadas como a série de Maclaurin de alguma função conhecida.

Neste exemplo as séries não correspondem a nenhuma função conhecida, e constituem duas funções especiais designadas funções de Airy.

Raio de convergência

Se a distância for suficientemente aproximada a zero, a série converge ($a_0$ é o valor da série quando $x=x_0$); quanto maior for a distância mais lenta será a convergência, até que a partir de uma certa distância a série diverge. O valor máximo da distância para o qual a série converge, é o chamado raio de convergência ($R$) e calcula-se a partir de:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}{R}^{n+1}}{a_n{R}^n}=1\Rightarrow R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{a_{n+1}}$

Ligações externas

• Complex Power Series Module by John H. Mathews