Tangente hiperbólica

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

A tangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da tangente. É representado por $\text{tgh}(x)$ ou $\tanh (x)$ e expresso matematicamente por:

$\tanh (x)=\frac{\mathrm{senh}(x)}{\cosh (x)}=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}}{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$

Que, por fim, resulta em:

$\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

Características

O domínio da função está definido para $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo $(-1,1)$. A função apresenta uma assíntota horizontal em $y=-1$ e em $y=1$.

Derivada

A derivada da função é:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tanh x=1-{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}={\mathrm{sech}}^{2}x$

Identidades trigonométricas

A função tangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:

$\tanh (\alpha +\beta )=\frac{\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \tanh \beta }$

De modo que quando $\alpha =\beta$, temos

$\tanh (2\alpha )=\frac{2\tanh \alpha }{1+{\tanh }^2\alpha }$

De modo similar, podemos encontrar

$\tanh (\alpha -\beta )=\frac{\tanh \alpha -\tanh \beta }{1-\tanh \alpha \tanh \beta }$