Tensor de tensão de Maxwell

Predefinição:Descrição curta Predefinição:Eletromagnetismo O tensor de tensão de Maxwell (em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem em três dimensões que é usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre as forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da lei de força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complicada, esse procedimento comum pode se tornar impraticável, com equações abrangendo várias linhas. Portanto, é conveniente coletar muitos desses termos no tensor de tensão de Maxwell e usar a aritmética de tensores para encontrar a resposta para o problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, os nove componentes do tensor de tensão de Maxwell aparecem, negados, como componentes do tensor eletromagnético de tensão–energia, que é o componente eletromagnético do tensor de tensão–energia total. Este último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.

Motivação

Conforme descrito abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de $𝐄$ e $𝐁$. Usando o cálculo vetorial e as equações de Maxwell, a simetria é procurada nos termos contendo $𝐄$ e $𝐁$, e a introdução do tensor de tensão de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades SI em vácuo
(para referência)

Nome	Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$
Lei de Gauss para magnetismo	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
Equação de Maxwell – Faraday (Lei de indução de Faraday)	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$
Lei dos circuitos de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)	$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

na relação acima para a conservação do momento, $\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }$ é a densidade do fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a $𝐒$ no teorema de Poynting.

A derivação acima assume conhecimento completo de ambos $\rho$ e $𝐉$ (tanto cargas livres quanto limitadas e correntes). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva BH), o tensor de tensão de Maxwell não linear deve ser usado.

Equação

Na física, o tensor de tensão de Maxwell é o tensor de tensão de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima, é dado por:

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$,

onde ${ϵ}_0$ é a constante elétrica e ${\mu }_0$ é a constante magnética, $𝐄$ é o campo elétrico, $𝐁$ é o campo magnético e ${\delta }_{ij}$ é o delta de Kronecker. No sistema gaussiano, é dado por:

${\sigma }_{ij}=\frac{1}{4\pi }(E_i{E}_j+H_i{H}_j-\frac{1}{2}(E^2+H^2){\delta }_{ij})$,

onde $𝐇$ é o campo magnetizante.

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

$\overleftrightarrow{\mathit{\sigma }}=\frac{1}{4\pi }[𝐄\otimes 𝐄+𝐇\otimes 𝐇-\frac{E^2+H^2}{2}𝕀]$

onde $\otimes$ é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

$𝕀\equiv \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=(\widehat{𝐱}\otimes \widehat{𝐱}+\widehat{𝐲}\otimes \widehat{𝐲}+\widehat{𝐳}\otimes \widehat{𝐳})$

O elemento $ij$ do tensor de tensão de Maxwell tem unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao $i$-ésimo eixo cruzando uma superfície normal ao $j$-ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento $ij$ do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao $i$-ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao $j$-ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos diagonais fornecem a tensão (puxando) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Ao contrário das forças devido à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensão.

Foi demonstrado recentemente que o tensor de tensão de Maxwell é a parte real de um tensor de tensão eletromagnético complexo mais geral, cuja parte imaginária é responsável pelas forças eletrodinâmicas reativas.

Na magnetostática

Se o campo for apenas magnético (o que é amplamente verdadeiro em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades S.I. torna-se:

${\sigma }_{ij}=\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2{\delta }_{ij}.$

Para objetos cilíndricos, como o rotor de um motor, isso é ainda mais simplificado para:

${\sigma }_{rt}=\frac{1}{{\mu }_0}{B}_r{B}_t-\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2{\delta }_{rt}.$

onde $r$ é o cisalhamento na direção radial (para fora do cilindro) e $t$ é o cisalhamento na direção tangencial (ao redor do cilindro). É a força tangencial que gira o motor. $B_r$ é a densidade de fluxo na direção radial, e $B_t$ é a densidade de fluxo na direção tangencial.

Na eletrostática

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, $𝐁=\mathrm{𝟎}$, e obtemos o tensor de tensão de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

${\sigma }_{ij}={\epsilon }_0{E}_i{E}_j-\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2{\delta }_{ij}$

e na forma simbólica por:

$\mathit{\sigma }={\epsilon }_0𝐄\otimes 𝐄-\frac{1}{2}{\epsilon }_0(𝐄\cdot 𝐄)𝐈$

onde $𝐈$ é o tensor de identidade apropriado $($geralmente $3\times 3)$.

Autovalor

Os autovalores do tensor de tensão de Maxwell são dados por:

$\{\lambda \}=\{-(\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2),\pm \sqrt{{(\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2-\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2)}^2+\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}{(𝑬\cdot 𝑩)}^2}\}$

Esses autovalores são obtidos pela aplicação iterativa do lema dos determinantes da matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman e Morrison.

Observando que a matriz de equação característica, $\overleftrightarrow{\mathit{\sigma }}-\lambda 𝕀$, pode ser escrita como

$\overleftrightarrow{\mathit{\sigma }}-\lambda 𝕀=-(\lambda +V)𝕀+{ϵ}_0𝐄{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}+\frac{1}{{\mu }_0}𝐁{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}$

onde

$V=\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)$

definimos

$𝐔=-(\lambda +V)𝕀+{ϵ}_0𝐄{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}$

Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, isso nos dá

$\det (\overleftrightarrow{\mathit{\sigma }}-\lambda 𝕀)=(1+\frac{1}{{\mu }_0}{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}{𝐔}^{-1}𝐁)\det \left(𝐔\right)$

Aplicá-lo novamente produz,

$\det (\overleftrightarrow{\mathit{\sigma }}-\lambda 𝕀)=(1+\frac{1}{{\mu }_0}{𝐁}^{\mathsf{\text{T}}}{𝐔}^{-1}𝐁)(1-\frac{{ϵ}_0{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}𝐄}{\lambda +V}){(-\lambda -V)}^3$

A partir do último multiplicando no RHS, vemos imediatamente que $\lambda =-V$ é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de $𝐔$ , usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

${𝐔}^{-1}=-{(\lambda +V)}^{-1}-\frac{{ϵ}_0𝐄{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}}{{(\lambda +V)}^2-(\lambda +V){ϵ}_0{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}𝐄}$

Fatorando um termo $(-\lambda -V)$ no determinante, resta-nos encontrar os zeros da função racional:

$(-(\lambda +V)-\frac{{ϵ}_0{(𝐄\cdot 𝐁)}^2}{{\mu }_0(-(\lambda +V)+{ϵ}_0{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}𝐄)})(-(\lambda +V)+{ϵ}_0{𝐄}^{\mathsf{\text{T}}}𝐄)$

Assim, uma vez que resolvemos

$-(\lambda +V)(-(\lambda +V)+{ϵ}_0{E}^2)-\frac{{ϵ}_0}{{\mu }_0}{(𝐄\cdot 𝐁)}^2=0$

obtemos os outros dois autovalores.

Ver também

• Cálculo de Ricci
• Pressão magnética
• Tensão magnética
• Tensor eletromagnético de tensão–energia
• Vetor de Poynting

• David J. Griffiths, "Introduction to electrodynamics" (em inglês) páginas  351 – 352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Classical electrodynamics" (em inglês), 3ª edição, John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Richard Becker, "Electromagnetic fields and interactions" (em inglês), Dover publications Inc., 1964