Tensor eletromagnético de tensão–energia

Na física relativística, o tensor eletromagnético tensão–energia é a contribuição para o tensor tensão–energia devido ao campo eletromagnético. O tensor tensão–energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de tensão–energia contém o negativo do tensor de tensão de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

Definição

Unidades do S.I.

No espaço livre e no espaço-tempo plano, o tensor eletromagnético tensão–energia em unidades do S.I. é:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

onde $F^{\mu \nu }$ é o tensor eletromagnético e onde ${\eta }_{\mu \nu }$ é o Predefinição:Ill de assinatura métrica Predefinição:Nowrap. Ao usar a métrica com assinatura Predefinição:Nowrap, a expressão à direita do sinal de igual terá sinal oposto.

Explicitamente em forma de matriz:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

onde

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

é o vetor de Poynting,

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

é o tensor de tensão de Maxwell e c é a velocidade da luz. Assim, $T^{\mu \nu }$ é expresso e medido em unidades de pressão do S.I. (pascal).

Convenções de unidades C.G.S.

A permissividade do espaço livre e a permeabilidade do espaço livre em Predefinição:Ill c.g.s. são:

${ϵ}_0=\frac{1}{4\pi },{\mu }_0=4\pi$

então:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{4\pi }[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }].$

e na forma de matriz explícita:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{8\pi }(E^2+B^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right]$

onde o vetor de Poynting se torna:

$𝐒=\frac{c}{4\pi }𝐄\times 𝐁.$

O tensor tensão-energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos bem compreendido e é o assunto da controvérsia não resolvida de Abraham – Minkowski.

O elemento $T^{\mu \nu }$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do μ-ésimo componente do quadrimomento do campo eletromagnético, $P^{\mu }$, passando por um hiperplano ($x^{\nu }$ é constante ). Representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

Propriedades algébricas

O tensor eletromagnético tensão-energia tem várias propriedades algébricas:

A simetria do tensor é como para um tensor tensão–energia geral na relatividade geral. O traço do tensor energia–momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não tem escala de energia invariante de Lorentz, então seu tensor de energia-momento deve ter um traço de fuga. Essa ausência de traços eventualmente se relaciona com a falta de massa do fóton.

Leis de conservação

O tensor eletromagnético tensão–energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação de energia e de momento linear no eletromagnetismo. A divergência do tensor tensão–energia é:

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{f}_{\rho }=0$

onde $f_{\rho }$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume na matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄& =0\\ \frac{\partial {𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁& =0\iff {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝐟=0\end{array}$

descrevendo respectivamente o fluxo de densidade de energia eletromagnética

$u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$

e densidade de momento eletromagnético

${𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{𝐒}{c^2}$

onde J é a densidade de corrente elétrica, ρ a densidade de carga elétrica e $𝐟$ é a densidade de força de Lorentz.

Ver também

• Cálculo de Ricci
• Cálculo vetorial
• Predefinição:Ill
• Equações de campo de Einstein
• Equações de Maxwell
• Equações de Maxwell no espaço-tempo curvo
• Predefinição:Ill
• Magneto-hidrodinâmica
• Relatividade geral