Teorema da decomposição de Helmholtz

No cálculo vetorial, o teorema de Helmholtz afirma que se o divergente e o rotacional de um campo vetorial são conhecidos em todo o espaço, então esse campo vetorial existe e é único, contanto que tanto o campo quanto seu divergente e rotacional caiam a zero suficientemente rápido no infinito. O teorema tem aplicações em muitas áreas da física e da matemática, como eletromagnetismo, cromodinâmica quântica e teoria de análise vetorial. Seu nome é dado em homenagem a Hermann von Helmholtz, médico e físico alemão com relevantes contribuições para a física, fisiologia, psicologia e filosofia.

Enunciado

Seja um campo vetorial $𝐅(𝐫)$ e definamos $\mathrm{\nabla }\times 𝐅\equiv 𝐂(𝐫)$ e $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅\equiv D(𝐫)$.

Se as seguintes condições são satisfeitas:

$\left(1\right)\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{𝐂(𝐫)}{1/r^2}=\mathrm{𝟎}$ e $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{D(𝐫)}{1/r^2}=0,$

$\left(2\right)\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{𝐅(𝐫)}{1/r}=\mathrm{𝟎},$

então $𝐅(𝐫)$ existe e é definido unicamente por

$\left(3\right)𝐅(𝐫)=-\mathrm{\nabla }U(𝐫)+\mathrm{\nabla }\times 𝐖,$

com

$\left(4\right)U(𝐫)=(\frac{1}{4\pi }\int \frac{D({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime })$  e $𝐖(𝐫)=(\frac{1}{4\pi }\int \frac{𝐂({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime }),$

onde $d{\tau }^{\prime }$ é um elemento infinitesimal de volume e $𝐫$ e ${𝐫}^{\prime }$ são vetores genéricos no espaço tridimensional.

Demonstração

Sejam $U(𝐫)$, $𝐖(𝐫)$, $D(𝐫)$ e $𝐂(𝐫)$ as funções definidas acima. Nosso primeiro objetivo é mostrar que é possível escrever $𝐅(𝐫)=-\mathrm{\nabla }U(𝐫)+\mathrm{\nabla }\times 𝐖$, e que se escrito assim, de fato $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=𝐂(𝐫)$ e $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=D(𝐫)$. Em seguida, vamos mostrar que sob as condições $\left(1\right)$ e $\left(2\right)$, $𝐅(𝐫)$ é único para determinados $D(𝐫)$ e $𝐂(𝐫)$.

Existência de U(r) e W(r)

A primeira questão é se $U(𝐫)$ e $𝐖(𝐫)$ são bem definidos, i.e., se as integrais de $\left(4\right)$ convergem. Temos, para $r^{\prime }/r>>1$:

$\int \frac{D({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime }\simeq \int \frac{D({𝐫}^{\prime })}{r^{\prime }}r{\text{'}}^{2}d{r}^{\prime }=\int D({𝐫}^{\prime })r^{\prime }d{r}^{\prime }.$

Essa integral converge se, e somente se, $D({𝐫}^{\prime })$ cair a zero no infinito mais rápido que $1/r{\text{'}}^2$. Essa condição é garantida por $\left(1\right)$. O mesmo argumento se aplica à integral de $𝐖(𝐫)$. Logo, $U(𝐫)$ e $𝐖(𝐫)$ existem.

Divergência de F(r)

Usando o fato de que o divergente de um rotacional é identicamente nulo, qualquer que seja a função sobre a qual a operação é aplicada, temos: $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\mathrm{\nabla }\cdot (-\mathrm{\nabla }U+\mathrm{\nabla }\times 𝐖)=\mathrm{\nabla }\cdot (-\mathrm{\nabla }U)={\mathrm{\nabla }}^2(\frac{-1}{4\pi }\int \frac{D({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime })$

Como ${\mathrm{\nabla }}^2$ é um operador diferencial em relação a $𝐫$ e a integral é em relação a ${𝐫}^{\prime }$, podemos fazer

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=\frac{-1}{4\pi }\int D({𝐫}^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)d{\tau }^{\prime }=\frac{-1}{4\pi }\int D({𝐫}^{\prime })(-4\pi {\delta }^3(𝐫-{𝐫}^{\prime }))d{\tau }^{\prime }=\int D({𝐫}^{\prime }){\delta }^3(𝐫-{𝐫}^{\prime })d{\tau }^{\prime }=D(𝐫),$

onde usamos a conhecida propriedade da função Delta de Dirac:

$\int 𝐟({𝐫}^{\prime }){\delta }^3({𝐫}^{\prime }-𝐚)d{\tau }^{\prime }=𝐟(𝐚)$

Logo, como queríamos demonstrar, $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=D(𝐫)$

Rotacional de F(r)

Uma vez que o rotacional de um gradiente é identicamente nulo, qualquer que seja a função sobre a qual o operador atua, e usando a identidade $\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times )=-{\mathrm{\nabla }}^2+\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot )$, temos:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{\nabla }\times (-\mathrm{\nabla }U(𝐫)+\mathrm{\nabla }\times 𝐖(𝐫))=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐖)=-{\mathrm{\nabla }}^2𝐖+\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐖)$

Como ${\mathrm{\nabla }}^2$ é um operador diferencial em relação a $𝐫$ e a integral é em relação a ${𝐫}^{\prime }$, o primeiro termo do lado direito da equação acima fica:

$-{\mathrm{\nabla }}^2𝐖=-{\mathrm{\nabla }}^2(\frac{1}{4\pi }\int \frac{𝐂({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime })=\frac{-1}{4\pi }\int 𝐂({𝐫}^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^2\left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)d{\tau }^{\prime }=\frac{-1}{4\pi }\int 𝐂({𝐫}^{\prime })(-4\pi {\delta }^3(𝐫-{𝐫}^{\prime }))d{\tau }^{\prime }$

$=\int 𝐂({𝐫}^{\prime }){\delta }^3(𝐫-{𝐫}^{\prime })d{\tau }^{\prime }=𝐂(𝐫)$

Para calcular o segundo termo vamos usar, adicionalmente, integração por partes de campos vetoriais e o fato de que uma derivada de $\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$ em relação a $𝐫$ difere de uma derivada em relação a ${𝐫}^{\prime }$ por um fator $(-1)$:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐖=\mathrm{\nabla }\cdot (\frac{1}{4\pi }\int \frac{𝐂({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}d{\tau }^{\prime })=\frac{1}{4\pi }\int 𝐂({𝐫}^{\prime })\mathrm{\nabla }\cdot \left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)d{\tau }^{\prime }=\frac{-1}{4\pi }\underset{V}{\int }𝐂({𝐫}^{\prime }){\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot \left(\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}\right)d{\tau }^{\prime }$

$=\frac{1}{4\pi }[\underset{V}{\int }\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐂({𝐫}^{\prime })d{\tau }^{\prime }-{\oint }_S\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}𝐂({𝐫}^{\prime })\cdot d𝐚]$

Mas, como o divergente de um rotacional é identicamente nulo, ${\mathrm{\nabla }}^{\prime }\cdot 𝐂({𝐫}^{\prime })=0$. Ao mesmo tempo, se escolhermos uma superfície cujos pontos estão todos suficientemente longe da origem, i.e., se fizermos $r^{\prime }\to \mathrm{\infty }$ na integral de superfície da equação acima, teremos

$\oint \frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}𝐂({𝐫}^{\prime })\cdot d𝐚\to \oint \frac{C(r^{\prime })}{r^{\prime }}r{\text{'}}^{2}d{r}^{\prime }=\oint C(r^{\prime })r^{\prime }d{r}^{\prime }$

Como as condições $\left(1\right)$ garantem que $C(r^{\prime })$ vai a zero mais rápido que $1/r{\text{'}}^2$, o integrando, que é constante ao longo da integração se escolhermos como superfície de integração uma esfera, vai a zero. Logo, a integral de superfície também vai a zero, o que dá

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐖=0$

Assim, ficamos com $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=𝐂(𝐫)$, como queríamos demonstrar.

Unicidade de F(r)

Até agora demonstramos que é possível escrever $𝐅(𝐫)$ como o rotacional de um campo vetorial menos o gradiente de um campo escalar, como na expressão $\left(3\right)$. Mas será que essa é a única forma de escrever $𝐅$? Em outras palavras, uma vez determinados o rotacional e o divergente de um campo vetorial $𝐅$, ele está unicamente fixado por $\left(3\right)$? A princípio, poderíamos adicionar à $𝐅$ um função cujo rotacional e divergente fossem identicamente nulos. Nada mudaria no que foi argumentado até agora, mas certamente $𝐅$ não seria único. Haveria tantas expressões diferentes para $𝐅$ quanto campos com rotacional e divergente nulo existissem. De fato, existem campos com rotacional e divergente nulo, mas nenhum deles consegue satisfazer a condição $\left(2\right)$:

$\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{𝐅(𝐫)}{1/r}=\mathrm{𝟎}$.

Ou seja, nenhum campo irrotacional e sem divergência vai a zero no infinito mais rápido que $r$.

Uma estratégia para mostrar formalmente a unicidade de $𝐅(𝐫)$ é supor que exista uma outra função ${𝐅}_{\mathrm{𝟐}}(𝐫)$, com o mesmo divergente e rotacional de $𝐅(𝐫)$, e mostrar que $𝐁=𝐅-{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}=\mathrm{𝟎}.$

Temos, então: $\mathrm{\nabla }\times {𝐅}_{\mathrm{𝟐}}=𝐂(𝐫)$ e $\mathrm{\nabla }\cdot {𝐅}_{\mathrm{𝟐}}=D(𝐫).$ Logo,

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=\mathrm{\nabla }\cdot (𝐅-{𝐅}_{\mathrm{𝟐}})=D-D=0$.

Da mesma maneira,

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁=\mathrm{𝟎}$

Pela última equação podemos definir $𝐁=-\mathrm{\nabla }\varphi$ e, substituindo na penúltima, $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =0$

Para duas funções escalares $u$ e $v$ diferenciáveis, há a identidade $\mathrm{\nabla }\cdot (u\mathrm{\nabla }v)=u\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }v+(\mathrm{\nabla }u)\cdot (\mathrm{\nabla }v)$. Utilizando-a no teorema da divergência, obtemos:

$\underset{V}{\int }u\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }v)d\tau +\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }u)\cdot (\mathrm{\nabla }v)d\tau =\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot (u\mathrm{\nabla }v)d\tau ={\oint }_S(u\mathrm{\nabla }v)\cdot d𝐚$

Se fizermos $u=v=\varphi$, ficamos com

$\underset{V}{\int }\varphi \mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )d\tau +\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )d\tau ={\oint }_S(\varphi \mathrm{\nabla }\varphi )\cdot d𝐚$

A primeira integral é nula, pois $\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =0.$ A integral de área, lado direito da equação, é nula pelas condições $\left(1\right)$. Logo, resta:

$\underset{V}{\int }(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )d\tau =0$.

Como a igualdade vale qualquer que seja o volume $V$ escolhido, e o produto $(\mathrm{\nabla }\varphi )\cdot (\mathrm{\nabla }\varphi )=𝐁\cdot 𝐁=B^2$ nunca é negativo, concluímos que $𝐁=\mathrm{𝟎}.$ Desse modo, como queríamos demonstrar:

$𝐁=𝐅-{𝐅}_{\mathrm{𝟐}}=\mathrm{𝟎}.$

E fica provado que, uma vez determinado o rotacional e o divergente de um campo vetorial $𝐅$, e sob as condições $\left(1\right)$ e $\left(2\right)$, este existe e é dado pela expressão $\left(3\right)$ de forma única.

Funções potenciais

O conceito de potencial é útil em muitas situações, em física. O Teorema de Helmholtz tem alguns corolários extremamente importantes.

Campos vetoriais irrotacionais

Se $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=0$ em todo o espaço, e sabendo que o rotacional do gradiente é identicamente nulo, temos:

$\mathrm{\nabla }\times (-\mathrm{\nabla }U(𝐫)+\mathrm{\nabla }\times 𝐖)=\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\times 𝐖=0\Rightarrow 𝐖=0$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o gradiente de um campo escalar: $𝐅=-\mathrm{\nabla }\phi (𝐫).$

Chamamos a função escalar $\phi (𝐫)$ de potencial escalar.

Pelo teorema de Stokes, $\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d𝐚={\oint }_C𝐅\cdot d𝐥=0.$ Logo, uma integral de linha de um campo irrotacional num circuito fechado é identicamente nula. Isso implica qualquer integral de linha que comece e termine no mesmo ponto ser independente do caminho, pois se uma integral começa em $𝐚$ e termina em $𝐛$, e uma outra integral começa em $𝐛$ e termina em $𝐚$, a soma das duas dá uma integral de linha num caminho fechado, que é identicamente nula. Logo:

$\underset{𝐚\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟏}}{\overset{𝐛}{\int }}𝐅\cdot d𝐥+\underset{𝐛\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟐}}{\overset{𝐚}{\int }}𝐅\cdot d𝐥=\underset{𝐚\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟏}}{\overset{𝐛}{\int }}𝐅\cdot d𝐥-\underset{𝐚\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟐}}{\overset{𝐛}{\int }}𝐅\cdot d𝐥=0\Rightarrow \underset{𝐚\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟏}}{\overset{𝐛}{\int }}𝐅\cdot d𝐥=\underset{𝐛\mathbf{\to }𝐜\mathrm{𝟐}}{\overset{𝐚}{\int }}𝐅\cdot d𝐥$

Ou seja, a integral de linha é independente do caminho.

Campos vetoriais sem divergência

Se $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=0$ em todo o espaço, e sabendo que o divergente do rotacional é identicamente nulo, temos:

$\mathrm{\nabla }\cdot (-\mathrm{\nabla }U+\mathrm{\nabla }\times 𝐖)=-\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mathrm{\nabla }U\right)=0\Rightarrow \mathrm{\nabla }U=0$

Logo, o campo vetorial em questão pode ser escrito apenas como o rotacional de um campo vetorial: $𝐅=\mathrm{\nabla }\times 𝐀(𝐫)$.

Chamamos a função vetorial $𝐀(𝐫)$ de potencial vetor.

Pelo teorema da divergência, $\underset{V}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅d{\tau }^{\prime }={\oint }_S𝐅\cdot d𝐚=0.$ Logo, no fluxo de um campo sem divergência numa superfície fechada é identicamente nulo.

Podemos mostrar, também, que qualquer integral de superfície, cuja superfície de integração esteja apoiada num mesmo contorno C, tem o mesmo valor. Ou seja, uma integral de superfície de um campo sem divergência não depende da superfície, para um dado contorno de apoio.

Aplicação em eletromagnetismo

A informação de que um campo vetorial está unicamente fixado pelo seu divergente e rotacional é de fundamental importância para a teoria eletromagnética. Toda a informação física relevante dos fenômenos eletromagnéticos é tirada de quatro equações diferenciais, as Equações de Maxwell, que envolvem precisamente o divergente e o rotacional dos campos vetoriais elétrico e magnético. São elas:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\frac{\rho }{{ϵ}_0}$ (Lei de Gauss)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ (Lei de Faraday-Neumann-Lenz)

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$ (Ausência de monopolos magnéticos)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0𝐉+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$ (Lei de Ampère)

Além disso, o conceito desenvolvido acima de potencial escalar e potencial vetor simplifica a solução de muitos problemas físicos.

Ligações externas

• Teorema de Helmholtz em WolframMathWorld (em inglês).
• Teorema de Helmholtz em Utexas (em inglês).

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