Teorema de Erdős–Fuchs

Em matemática, na área de teoria aditiva dos números, o Teorema de Erdős–Fuchs é um teorema sobre o número de formas que um número pode ser representado como a soma de dois elementos de um determinado conjunto, afirmando que a ordem média desse número não pode ser muito próximo de uma função linear.

O nome deste teorema vem de Paul Erdős e Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs, que publicaram sua prova em 1956.

Enunciado

Seja $𝒜\subseteq \mathbb{N}$ um conjunto infinito de números naturais, e escreva $r_{𝒜,h}(n)$ para sua função de representação, que denota o número de formas de escrever num número natural $n$ como a soma de $h$ elementos de $𝒜$ (levando ordem em consideração). Consideramos então a função de representação acumulada $$s_{𝒜,h}(x):=\sum _{n⩽x}{r}_{𝒜,h}(n),$$ que conta (também levando ordem em consideração) o número de soluções para $k_1+\cdots +k_h⩽x$, onde $k_1,\dots ,k_h\in 𝒜$. O teorema então diz que, para qualquer $c>0$, a relação $$s_{𝒜,2}(n)=cn+o(n^{1/4}\log (n{)}^{-1/2})$$ não pode ser satisfeita; isto é, nenhum $𝒜\subseteq \mathbb{N}$ satisfaz a estimativa acima.

Teoremas do tipo de Erdős–Fuchs

O teorema de Erdős–Fuchs possui uma história interessante de precedentes e generalizações. Em 1915, G. H. Hardy já sabia que no caso da sequência $𝒬:=\{0,1,4,9,\dots \}$ dos quadrados perfeitos tem-se $$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{|s_{𝒬,2}(n)-\pi n|}{n^{1/4}\log (n{)}^{1/4}}>0$$ Esta estimativa é um pouco melhor do que a descrita por Erdős–Fuchs, contudo, pelo preço de uma pequena perda de precisão, P. Erdős e W. H. J. Fuchs atingiram completa generalidade em seu resultado (pelo menos para o caso $h=2$). Outra razão pela qual este resultado é tão célebre pode ser devido ao fato de que, em 1941, P. Erdős e P. Turán conjecturaram que, sujeito às mesmas hipóteses que as do teorema enunciado, a relação $$s_{𝒜,2}(n)=cn+O(1)$$ não poderia ser válida. Este fato manteve-se sem demonstração até 1956, quando Erdős e Fuchs obtiveram seu teorema, que é ainda mais forte que as estimativas previamente conjecturadas.

Versões melhoradas para h = 2

Este teorema foi estendido em diversas direções diferentes. Em 1980, A. Sárközy considerou duas sequências que estão "perto" em algum sentido. Ele provou o seguinte:

• Teorema (Sárközy, 1980). Se $𝒜=\{a_1<a_2<\dots \}$ e $ℬ=\{b_1<b_2<\dots \}$ são dois subconjuntos infinitos dos números naturais com $a_i-b_i=o(a_i^{1/2}\log (a_i{)}^{-1})$, então $|\{(i,j):a_i+b_j⩽n\}|=cn+o(n^{1/4}\log (n{)}^{-1/2})$ nunca é válido, para nenhuma constante $c>0$.

Em 1990, H. L. Montgomery e R. C. Vaughan conseguiram remover o termo com log do lado direito do enunciado original de Erdős–Fuchs, mostrando que $$s_{𝒜,2}(n)=cn+o(n^{1/4})$$ nunca é válido. Em 2004, G. Horváth estendeu ambos estes resultados, provando o seguinte:

• Teorema (Horváth, 2004). Se $𝒜=\{a_1<a_2<\dots \}$ e $ℬ=\{b_1<b_2<\dots \}$ são subconjuntos infinitos dos números naturais com $a_i-b_i=o\left(a_i^{1/2}\right)$ e $|𝒜\cap [0,n]|-|ℬ\cap [0,n]|=O(1)$, então $|\{(i,j):a_i+b_j⩽n\}|=cn+o\left(n^{1/4}\right)$ nunca é válido, para nenhuma constante $c>0$.

Caso geral (h ≥ 2)

A generalização natural do Teorema de Erdős–Fuchs, para $h⩾3$, é sabida ser válida, e também com a mesma força da versão de Montgomery–Vaughan. Com efeito, M. Tang mostrou em 2009 que, nas condições do teorema original de Erdős–Fuchs, para todo $h⩾2$ a relação $$s_{𝒜,h}(n)=cn+o(n^{1/4})$$ nunca é válida. Em outra direção, em 2002, G. Horváth deu uma generalização precisa para o resultado de 1980 de Sárközy, mostrando que

• Teorema (Horváth, 2002) Se ${𝒜}^{(j)}=\{a_1^{(j)}<a_2^{(j)}<\dots \}$ ($j=1,\dots ,k$) são $k$(pelo menos dois) subconjuntos infinitos dos números naturais satisfazendo as seguintes estimativas:

1. $a_i^{(1)}-a_i^{(2)}=o((a_i^{(1)}{)}^{1/2}\log (a_i^{(1)}{)}^{-k/2})$
2. $|{𝒜}^{(j)}\cap [0,n]|=\mathrm{\Theta }(|{𝒜}^{(1)}\cap [0,n]|)$ (for $j=3,\dots ,k$)

então a relação:

$|\{(i_1,\dots ,i_k):a_{i_1}^{(1)}+\dots +a_{i_k}^{(k)}⩽n,a_{i_j}^{(j)}\in {𝒜}^{(j)}(j=1,\dots ,k)\}|=cn+o(n^{1/4}\log (n{)}^{1-3k/4})$

nunca é válida, para nenhuma constante $c>0$.

Aproximações não-lineares

Ainda outra direção na qual o teorema de Erdős–Fuchs pode ser melhorado é considerando aproximações para $s_{𝒜,h}(n)$ diferentes de $cn$ para algum $c>0$. Em 1963, P. T. Bateman, E. E. Kohlbecker and J. P. Tull mostraram uma versão um pouco mais forte do seguinte:

• Teorema (Bateman–Kohlbecker–Tull, 1963). Seja $L(x)$ uma função de variação lenta que é ou convexa ou côncava de certo ponto em diante. Então, nas condições do teorema original de Erdős–Fuchs, a estimativa $s_{𝒜,2}(n)=nL(n)+o(n^{1/4}\log (n{)}^{-1/2}L(n{)}^{\alpha })$ nunca é válida, onde $\alpha =3/4$ se $L(x)$ é limitada, e $1/4$ caso contrário.

No final do artigo em questão, é observado que é possível estender o método usado para provar o teorema acima no sentido de obter resultados considerando $n^{\gamma }$ com $\gamma \ne 1$, mas tais resultados são considerados pouco definitivos.

Ver também

• Teorema de Erdős–Tetali: Para todo $h\ge 2$, existe um conjunto $𝒜\subseteq \mathbb{N}$ satisfazendo $r_{𝒜,h}(n)=\mathrm{\Theta }(\log (n))$. (Existência de bases econômicas)
• Conjectura de Erdős–Turán para bases aditivas: Se $𝒜\subseteq \mathbb{N}$ é uma base aditiva de ordem 2, então $r_{𝒜,2}(n)\ne O(1)$. (Bases não podem ser muito econômicas)

Referências

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