Teorema de Fueter–Pólya

O teorema de Fueter–Pólya, provado pela primeira vez por Rudolf Fueter e George Pólya, afirma que as únicas funções de pareamento polinomial quadráticas são os polinômios de Cantor.

Introdução

Em 1873, Georg Cantor mostrou que o chamado polinômio de Cantor

$P(x,y):=\frac{1}{2}((x+y{)}^2+3x+y)=\frac{x^2+2xy+3x+y^2+y}{2}=x+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y+1}{2})$

é um mapeamento bijetivo de ${\mathbb{N}}^2$ para $\mathbb{N}$. O polinômio dado pela troca das variáveis ​​também é uma função de pareamento.

Fueter estava investigando se existem outros polinômios quadráticos com esta propriedade e concluiu que este não é o caso, assumindo $P(0,0)=0$. Ele então escreveu para Pólya, que mostrou que o teorema não requer essa condição.

Declaração

Se $P$ é um polinômio quadrático real em duas variáveis ​​cuja restrição a ${\mathbb{N}}^2$ é uma bijeção de ${\mathbb{N}}^2$ para $\mathbb{N}$ então é

$P(x,y):=\frac{1}{2}((x+y{)}^2+3x+y)$

ou

$P(x,y):=\frac{1}{2}((y+x{)}^2+3y+x).$

Prova

A prova original é surpreendentemente difícil, usando o teorema de Lindemann-Weierstrass para provar a transcendência de $e^a$ para um número algébrico diferente de zero $a$. Em 2002, M. A. Vsemirnov publicou uma prova elementar deste resultado.

Conjectura de Fueter–Pólya

O teorema afirma que o polinômio de Cantor é o único polinômio de pareamento quadrático de ${\mathbb{N}}^2$ e $\mathbb{N}$. A conjectura é que esses são os únicos polinômios de pareamento desse tipo, de qualquer grau.

Dimensões superiores

Uma generalização do polinômio de Cantor em dimensões superiores é a seguinte:

$P_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+\sum _{j=1}^k{x}_j}{k})=x_1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1+x_2+1}{2})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1+\cdots +x_n+n-1}{n})$

A soma desses coeficientes binomiais produz um polinômio de grau $n$ em $n$ variáveis. Este é apenas um de pelo menos $(n-1)!$ polinômios de empacotamento não equivalentes para $n$ dimensões. Predefinição:Referências