Teorema de König

Em análise complexa e análise numérica, o Teorema de König fornece uma forma para estimar polos simples ou raízes simples de uma função. Em particular, possui inúmeras aplicações em algoritmos para encontrar raízes, como o método de Newton e sua generalização, o método de Householder.

O Teorema

Dada uma função meromorfa definida em $|x|<R$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}^n,c_0\ne 0.$

Suponha que esta possui polo simples apenas se $x=r$ no disco. Se $0<\sigma <1$ tal que $|r|<\sigma R$, então

$\frac{c_n}{c_{n+1}}=r+o({\sigma }^{n+1}).$

Em particular, temos que

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{c_n}{c_{n+1}}=r.$

Intuição

Nas proximidades de x=r, espera-se que a função seja dominada pelo polo:

$f(x)\approx \frac{C}{x-r}=-\frac{C}{r}\frac{1}{1-x/r}=-\frac{C}{r}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{x}{r}\right]}^n.$

Correlacionando os coeficientes, vê-se que $\frac{c_n}{c_{n+1}}\approx r$.