Teorema de Lax–Milgram

Em matemática, o Teorema de Lax-Milgram é um resultado de análise funcional com aplicação na teoria de equações à derivadas parciais. Esse teorema demonstra sob certas condições a existência e unicidade de uma solução fraca de um problema de valor de contorno.

Seu nome é uma homenagem aos matemáticos Peter Lax e Arthur Milgram.

Enunciado

Sejam :

• $\mathscr{H}$ um espaço de Hilbert munido de seu produdo escalar notado $⟨.,.⟩$, da norma associada notada $\Vert .\Vert$
• $a(.,.)$ uma forma bilinear (ou uma forma sesquilinear se $\mathscr{H}$ é complexo) que é
  • contínua em $\mathscr{H}\times \mathscr{H}$ : $\mathrm{\exists }c>0,\mathrm{\forall }(u,v)\in {\mathscr{H}}^2,|a(u,v)|\le c\Vert u\Vert \Vert v\Vert$
  • coerciva em $\mathscr{H}$ : $\mathrm{\exists }\alpha >0,\mathrm{\forall }u\in \mathscr{H},a(u,u)\ge \alpha \Vert u{\Vert }^2$
• $L(.)$ uma forma linear contínua em $\mathscr{H}$.

Sob essas hipóteses, existe um único $u$ de $\mathscr{H}$ tal que a equação $a(u,v)=L(v)$ se verifica para todo $v$ de $\mathscr{H}$ :

$(1)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H},\mathrm{\forall }v\in \mathscr{H},a(u,v)=L(v)$

Se ainda a forma bilinear $a$ é simétrica, então $u$ é o único elemento de $\mathscr{H}$ que minimiza o funcional $J:\mathscr{H}\to ℝ$ definido por $J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-L(v)$ para todo $v$ de $\mathscr{H}$, ou seja :

$(2)\mathrm{\exists }!u\in \mathscr{H},J(u)=\underset{v\in \mathscr{H}}{\min }J(v)$

Referências

• Predefinição:Citar livro Predefinição:MathSciNet (chapter III)