Teorema de Stewart

Em geometria, o teorema de Stewart produz uma relação entre o tamanho dos lados de um triângulo e o tamanho de uma ceviana do triângulo. Este nome é em honra do matemático escocês Matthew Stewart que publicou o teorema em 1746.

Teorema

Sendo $a$, $b$, e $c$ os tamanhos dos lados do triângulo. Sendo $d$ a ceviana do lado $a$. Se a ceviana divide o lado $a$ em dois segmentos de tamanho $m$ e $n$, então o teorema de Stewart diz que:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$

Diagram of Stewart's theorem

Prova

O teorema pode ser provado com a aplicação da lei dos cossenos:

Se θ é o ângulo entre m e d, θ' o ângulo entre n e d. Então θ′ que é o suplemento de θ e cos θ′ = −cos θ. Da lei dos cossenos entre θ e θ′, temos:

$\begin{array}{cc}{c}^2& =m^2+d^2-2dm\cos \theta \\ b^2& =n^2+d^2-2dn\cos {\theta }^{\prime }\\ & =n^2+d^2+2dn\cos \theta .\end{array}$

Multiplique a primeira equação por n, e a segunda por m, e elimine o cos θ, assim obtemos:

$\begin{array}{cc}& b^{2}m+c^{2}n\\ & =n{m}^2+n^{2}m+(m+n)d^2\\ & =(m+n)(mn+d^2)\\ & =a(mn+d^2),\\ \end{array}$

que é a equação que queríamos demonstrar.

O teorema também pode ser provado pelo teorema de Pitágoras.

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