Transcendentes de Painlevé

Predefinição:Sem fontes Em matemática, transcendentes de Painlevé são as soluções para certas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem não lineares no plano complexo com a propriedade de Painlevé (as únicas singularidades móveis são polos), mas que geralmente não são solucionáveis em termos de funções elementares. Elas foram descobertas por Paul Painlevé (1900 - 1902), que mais tarde tornou-se o primeiro-ministro francês.

Listas de equações de Painlevé

Estas seis equações, tradicionalmente chamadas Painlevé I-VI, são as seguintes:

• I (Painlevé):

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=6y^2+t$

• II (Painlevé):

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=2y^3+ty+\alpha$

• III (Painlevé):

$ty\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=t{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2-y\frac{dy}{dt}+\delta t+\beta y+\alpha y^3+\gamma t{y}^4$

• IV (Gambier):

$y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+\beta +2(t^2-\alpha )y^2+4t{y}^3+\frac{3}{2}{y}^4$

• V (Gambier):

$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}& =(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}){\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2-\frac{1}{t}\frac{dy}{dt}\\ & +\frac{(y-1{)}^2}{t^2}(\alpha y+\frac{\beta }{y})+\gamma \frac{y}{t}+\delta \frac{y(y+1)}{y-1}\\ \end{array}$

• VI (R. Fuchs):

$\begin{array}{cc}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}& =\frac{1}{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-t}){\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2-(\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{y-t})\frac{dy}{dt}\\ & +\frac{y(y-1)(y-t)}{t^2(t-1{)}^2}(\alpha +\beta \frac{t}{y^2}+\gamma \frac{t-1}{(y-1{)}^2}+\delta \frac{t(t-1)}{(y-t{)}^2})\\ \end{array}$

Os números α, β, γ, δ são constantes complexas.

• Painlevé Transcendents - MathWorld