Grupo fundamental

O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

Definição

Seja $X$ um espaço topológico e $x\in X$ um ponto. O grupo fundamental de $X$ baseado em $x$, representado por ${\pi }_1(X,x)$ é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em $x$ onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se $\gamma$ e ${\gamma }^{\prime }$ são lacetes centrados em $x$, e $[]$ indica a classe de homotopia, então $[\gamma ][{\gamma }^{\prime }]=[\gamma *{\gamma }^{\prime }]$.

Toda curva $\gamma$ de $x$ a $y$ define um homomorfismo de grupos entre ${\pi }_1(X,x)$ e ${\pi }_1(X,y)$ por ${\gamma }_{*}[\alpha ]=[{\gamma }^{-1}*\alpha *\gamma ],$. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando $X$ é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, ${\pi }_1(X,x)$ é isomorfo a ${\pi }_1(X,y)$, para quaisquer $x,y\in X$.

Aplicações contínuas e homomorfismos

Se $f:X\to Y$ é uma aplicação contínua tal que $f(x)=y$, então ela induz um homomorfismo $f_{*}$ entre ${\pi }_1(X,x)$ e ${\pi }_1(Y,y)$ dado por $f_{*}[\gamma ]=[f\circ \gamma ]$. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que $f_{*}([\gamma ]*[{\gamma }^{\prime }]=[f\circ \gamma ]*[f\circ {\gamma }^{\prime }]$.

Functorialidade

Seja $To{p}_{*}$ a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas $(X,x)$, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)$ são aplicações contínuas $f:X\to Y$ tal que $f(x)=y$. Então ${\pi }_1$ pode ser visto como um functor entre $To{p}_{*}$ e $Grp$. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.

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