Equação de Laplace

Laplace

Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Definição

Em um conjunto aberto $U\subset {ℝ}^n$, a equação de Laplace é definida por:

$\mathrm{\Delta }f=0$

onde, $\mathrm{\Delta }$ denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

$\mathrm{\Delta }f:=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}$

Aqui, a incógnita $f$ é uma função de $U\subset {ℝ}^n$ em $ℝ.$ Uma tal função $f$ é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. $\mathrm{\Delta }f=0$ e $f\in C^2(U,ℝ)$. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por ${\mathrm{\nabla }}^2$. Esta notação é motivada pelo fato de que $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }$, onde $\mathrm{\nabla }$ denota o gradiente.

Definição em ${ℝ}^2$

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano ${ℝ}^2$, a equação de Laplace toma a forma (em coordenadas cartesianas):

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0$

Em coordenadas polares $(r,\theta )$, a equação torna-se:

$\frac{{\partial }^{2}g}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}g}{\partial {\theta }^2}=0$

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis $x=r\text{cos }\theta$, $y=r\text{sen }\theta$ e $g(r,\theta )=f(r\text{cos }\theta ,r\text{sen }\theta )$.

Definição em ${ℝ}^3$

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais $f$ duplamente diferenciáveis, de variáveis reais $x$, $y$ e $z$, tais que:

- em coordenadas cartesianas

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0.$

- em coordenadas cilíndricas,

$\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial \rho }\left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho }\right)+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}=0$

- em coordenadas esféricas,

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \phi }\frac{\partial }{\partial \phi }(\sin \phi \frac{\partial f}{\partial \phi })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\phi }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}=0$

Solução fundamental

A função $\mathrm{\Phi }:{ℝ}^n-\{0\}\to ℝ$ definida por:

$\mathrm{\Phi }(x)=\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{2\pi }\ln |x|& ,n=2\\ \frac{1}{n(n-2)\alpha (n)}\frac{1}{|x{|}^{n-2}}& ,n\ge 3\end{array}$

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace. Aqui, $\alpha (n)$ denota o volume da bola unitária em ${ℝ}^n$. Verifica-se, por substituição direta, que $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=0$ em ${ℝ}^n-\{0\}$.

Condições de contorno

A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno $\partial D$ do domínio $D$, esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }\phi & =& 0,& x\in D\\ \phi & =& g,& x\in \partial D\end{array}$.

Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se $D$ é conexo, $\phi \in C^2(D)\cap C(\overline{D})$ e $g\in C(\partial D)$ é uma função não-negativa (não-positiva), então $\phi$ é não-negativa (não-positiva) em $D$. Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre $D$. Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da Solução

Se $u\in C^2(\overline{D})$ é solução do problema de Dirichlet acima, então:

$\phi (x)=-\underset{\partial D}{\int }g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu }(x,y)dS(y)$

onde, $\nu$ é a normal unitária exterior a $\partial D$ e $\partial G(x,y)/\partial \nu$ é a derivada normal da função de Green:

$G(x,y)=\mathrm{\Phi }(y-x)-{\varphi }^x(y),\mathrm{\forall }x,y\in D,x\ne y.$

Aqui, $\mathrm{\Phi }$ é a solução fundamental (veja acima) e, para cada $x$, ${\varphi }^x={\varphi }^x(y)$ é solução de:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }{\varphi }^x& =& 0,& x\in D\\ {\varphi }^x& =& \mathrm{\Phi }(y-x),& x\in \partial D\end{array}$

Fórmula de Poisson para a bola

A fórmula de representação acima depende da função de Green $G(x,y)$. Em alguns casos esta função é conhecida. Se $D=B(0,r)=\{x:\Vert x\Vert <r\}$, então:

$G(x,y)=\frac{r^2-\Vert x{\Vert }^2}{n\alpha (n)r}\frac{1}{\Vert x-y{\Vert }^n}$

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola $B(0,r)$. De fato, podemos mostrar que se $g\in C(\partial B(0,r))$, então:

$\phi (x)=-\underset{\partial B(0,r)}{\int }g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu }(x,y)dS(y)=-\frac{r^2-\Vert x{\Vert }^2}{n\alpha (n)r}\underset{\partial B(0,r)}{\int }\frac{g(y)}{\Vert x-y{\Vert }^n}dS(y),\mathrm{\forall }x\in B(0,r)$

é solução do problema de Dirichlet no sentido que $\mathrm{\Delta }\phi =0$ e:

$\underset{\begin{array}{c}x\to y\\ x\in B(0,r)\end{array}}{\lim }\phi (x)=g(y),\mathrm{\forall }y\in \partial B(0,r).$

Problema de Neumann

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno $\partial D$ do domínio $D$, esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

$\begin{array}{cccc}\mathrm{△}\phi & =& 0,& x\in D\\ \frac{\partial }{\partial \eta }\phi & =& g,& x\in \partial D\end{array}.$

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio $D$ e aplicando a primeira identidade de Green:

$0=\underset{D}{\int }0dx=\underset{D}{\int }\mathrm{△}\phi dx=\underset{\partial D}{\int }\frac{\partial }{\partial \eta }\phi dS(x)=\underset{\partial D}{\int }gdS(x)$

Ver também

• Equação de Poisson
• Função harmônica

Predefinição:Equações diferenciais Predefinição:Esboço-matemática