Difeomorfismo

Em matemática, um difeomorfismo é um isomorfismo na categoria das variedades diferenciáveis. Ele é uma invertível que leva uma variedade diferenciável em outra, de modo que tanto a função quanto sua inversa sejam suaves.

A imagem de uma malha retangular em um quadrado sob um difeomorfismo do quadrado sobre si mesmo.

Definição

Duas variedades diferenciáveis dizem-se difeomeomorfas se existir uma aplicação entre essas variedades que seja diferenciável, invertível e a sua inversa seja diferenciável.

Seja $f:M\to N$ uma aplicação entre variedades diferenciáveis. Então $f$ diz-se um difeomorfismo se as funções ${\varphi }_{i}f{\psi }_i^{-1}$ forem invertíveis e tanto elas como as suas inversas tiverem derivadas de todas as ordens.

Exemplos

1 Seja $M\subset R^n$ um subconjunto. Se $f:M\to {ℝ}^k$ é uma aplicação suave, então o gráfico de $f$ é difeomorfo a $M$.

2 Para qualquer $p\in S^n$, tem-se que $\frac{S^n}{p}$ é difeomorfo a $R^n$. Assim este difeomorfismo é a canônica aplicação estereográfica.

3 Sejam $\alpha :I\to {ℝ}^3$ uma curva regular e $s:I\to \alpha (I)=J$ a função comprimento de arco a partir de $t_0\in I$. Então $s:I\to J$ é um difeomorfismo.

4 A aplicação $h=X^{-1}\circ Y$$:$$Y^{-1}(W)\to X^{-1}(W)$ é um difeomorfismo $C^{\mathrm{\infty }}$.

Outras noções de igualdade topológica

• Homeomorfismo
• Equivalência homotópica
• Geometria diferencial