Conjunto de medida zero

Predefinição:Sem fontes Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se $(X,𝔐,\nu )$ é um espaço de medida, um conjunto $E\in 𝔐$ é dito ter medida zero se: $$\nu (E)=0$$

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta

Seja $Z$ um conjunto qualquer na reta. Dizemos que $\{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é uma cobertura de bolas abertas para $Z$ se satisfizer as hipóteses:

• $Z\subseteq \bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_n$
• $B_n=(a_n,b_n)$ são bolas abertas com centro em $\frac{a_n+b_n}{2}$ e raio $\frac{b_n-a_n}{2}$

O comprimento da cobertura $\{B_n\}$ é definido como: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}l(B_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(b_n-a_n)$$ Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto $Z$ é dito ter medida zero se para todo $\epsilon >0$, existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a $\epsilon$.

Exemplo

O conjunto dos números inteiros, $\mathbb{Z}$ tem medida zero.

Sabe-se que $\mathbb{Z}$ é enumerável, portanto pode ser escrito como: $$\mathbb{Z}=\{x_j{\}}_{j=1}^{\mathrm{\infty }}$$

Fixe um $\epsilon >0$ arbitrário e considere as bolas: $$B_n=(x_j-\epsilon 2^{-n-1},x_j+\epsilon 2^{-n-1})$$ $$l(B_n)=2\epsilon \cdot 2^{-n-1}=\epsilon \cdot 2^{-n}$$ E o comprimento da cobertura $\{B_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ é: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}l(B_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\epsilon \cdot 2^{-n}=\epsilon \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}=\epsilon$$

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades

• Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
• É fácil ver que se $A\subseteq B$ e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
• O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também

• Conjunto de Cantor, um exemplo de conjunto não-enumerável na reta com medida zero.
• Medida
• Medida de Lebesgue
• Medida exterior de Lebesgue
• Sigma-álgebra