Teorema do ponto fixo de Schauder

Predefinição:Sem notas O Teorema do ponto fixo de Schauder é uma generalização do teorema do ponto fixo de Brouwer. Enquanto o teorema de Brouwer se aplica a espaços euclidianos, o teorema de Schauder vale em espaços de Banach. Este resultado foi conjecturado e provado em casos especiais [como os espaços de Banach] por Julius Schauder, em 1930.

Enunciado

Seja $X$ um espaço de Banach, $K$ um fechado, limitado e convexo não vazio e $A : K \to K$ um operador compacto. Então $A$ admite um ponto fixo $x \in K$ , ou seja:

A x = x

Seja $X$ um espaço de Banach, $K$ um compacto e convexo e $A : K \to K$ uma função contínua. Então $A$ admite um ponto fixo $x \in K$ , ou seja:

A x = x

Quando $X$ tem dimensão finita, então este teorema é idêntico ao teorema do ponto fixo de Brouwer, pois, então, um conjunto é compacto se e somente se for limitado e fechado.
A generalização deste resultado é o Teorema do Ponto-Fixo de Schauder-Tychonoff, no qual o russo Andrei Tychonoff foi o primeiro a provar este caso generalizado em 1934 - Enunciado: o teorema estabelece que uma função contínua definida num subconjunto compacto e convexo de um espaço vetorial topológico localmente convexo possui um ponto fixo.
Andrey Markov usou este "teorema de Schauder" para provar o seu teorema do ponto fixo, em 1936. E depois, já em 1938, o matemático nipo-americano Shizuo Kakutani generalizou o resultado de Markov e, assim, o resultado geral é denominado "Teorema do Ponto Fixo de Markov-Kakutani".

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