Função zeta de Hurwitz

Função zeta de Hurwitz em $q=\frac{1}{3}$.

Em matemática, a função zeta de Hurwitz é uma das muitas funções zeta. É definida formalmente para um argumento complexo s e um argumento real q como

$\zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+q{)}^{-s}.$

Esta série é convergente para q > 0 e Re(s) > 1. Se q é um inteiro não positivo se supõe que os termos na série com denominador nulo não são considerados. Entretanto, em geral um se limita a 0 < q ≤ 1, o qual simplifica muitas das fórmulas aplicáveis à esta função.

Notar que na realidade não há coisa algumna que evite que a variável q seja complexa (em cujo caso, Re(q)>0 é uma restrição natural, ainda que não seja uma condição necessária). Esta extensão é necessária para a fórmula de Schwinger para o rítmo de produção de pares de elétrons (vide infra).

Extensão analítica

A função zeta de Hurwitz pode ter uma extensão analítica a uma função meromorfa definida para todos os números complexos s com s ≠ 1. Em s = 1 possuem um polo simples com resíduo 1. O termo constante é dado por

$\underset{s\to 1}{\lim }[\zeta (s,q)-\frac{1}{s-1}]=\frac{-{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(q)}{\mathrm{\Gamma }(q)}=-\psi (q)$

onde Γ é a função Gama e ψ é a função digama.

Representação da série

Em 1930 Helmut Hasse encontrou a representação em forma de série convergente definida por q > −1 e para todo número complexo s ≠ 1:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}.$

Esta série converge uniformemente em um subconjunto compacto do plano s a uma função inteira. A soma interna deve ser compreendida como a n-ésima diferença finita de $q^{1-s}$; ou seja,

${\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(q+k{)}^{1-s}$

onde Δ é o operador diferença finita. Portanto, é válido que

$\zeta (s,q)=\frac{1}{s-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{\mathrm{\Delta }}^n{q}^{1-s}$

$=\frac{1}{s-1}\frac{\log (1+\mathrm{\Delta })}{\mathrm{\Delta }}{q}^{1-s}.$

Representaçao integral

A função possui uma representação integral em função da transformada de Mellin. Esta é:

$\zeta (s,q)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{e^{qt}(1-e^{-t})}dt$

para $\mathrm{\Re }s>1$ e $\mathrm{\Re }q>0$.

Fórmula de Hurwitz

A fórmula de Hurwitz estabelece o seguinte teorema:

$\zeta (1-s,x)=\frac{1}{2s}[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)]$

com

$\beta (x;s)=2\mathrm{\Gamma }(s+1)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (2\pi inx)}{(2\pi n{)}^s}=\frac{2\mathrm{\Gamma }(s+1)}{(2\pi {)}^s}{\text{Li}}_s(e^{2\pi ix})$

é uma representação do zeta que é válido para $0\le x\le 1$ e $s>1$. Onde, ${\text{Li}}_s(z)$ é o polilogaritmo.

Referências

• Hurwitz Zeta Function - Wolfram MathWorld Predefinição:En
• Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Ver capítulo 12)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (Ver Paragraph 6.4.10 para a relação com a função poligama.) Predefinição:En
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630. Predefinição:En
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments, Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201--206. Predefinição:En
• Linas Vepstas, Los Operadores Bernoulli, Gauss-Kuzmin-Wirsing, & Riemann Zeta Predefinição:En