Identidades logarítmicas

Predefinição:Mais fontes Em matemática, existem diversas identidades logarítmicas.

Identidades algébricas ou leis

Usando operações simples

Logaritmos podem ser usados para realizar-se cálculos mais facilmente. Por exemplo, dois números podem ser multiplicados apenas usando-se uma tábua de logaritmos e adição.

Operações simples com logaritmos

Tipo de operação	identidade	Justificativa	Observação
Produto	${\log }_b(xy)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$	$b^c\cdot b^d=b^{c+d}$
Divisão	${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)={\log }_b(x)-{\log }_b(y)$	$b^{c-d}=\frac{b^c}{b^d}$	${\log }_b\left(\begin{array}{c}\frac{x}{y}\end{array}\right)\ne \frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}y}$. Por exemplo, ${\log }_{10}\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\end{array}\right)\cong -0,17$, o que não é igual a $\frac{{\log }_{10}2}{{\log }_{10}3}\cong \frac{0,3010}{0,4771}\cong 0,63$
Exponenciação	${\log }_b(x^d)=d{\log }_b(x)$	$(b^c{)}^d=b^{cd}$	${\log }_b(x^d)\ne {[{\log }_b(x)]}^d={\log }_b^d(x)$. Por exemplo, ${\log }_{10}(2^3)\cong 0,90$, o que não é igual a ${[{\log }_{10}(2)]}^3\cong 0,027$
Radiciação	${\log }_b\left(\sqrt[y]{x}\right)=\begin{array}{c}\frac{{\log }_b(x)}{y}\end{array}$	$\sqrt[y]{x}=x^{1/y}$
Exponenciação	$x^{{\log }_b(y)}=y^{{\log }_b(x)}$	$x^{{\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(x){\log }_b(y)}=b^{{\log }_b(y){\log }_b(x)}=y^{{\log }_b(x)}$
Produto e exponenciação	$c{\log }_b(x)+d{\log }_b(y)={\log }_b(x^c{y}^d)$	${\log }_b(x^c{y}^d)={\log }_b(x^c)+{\log }_b(y^d)$

Onde $b,$ $x,$ e $y$ são números reais positivos e $b\ne 1.$ Tanto $c$ quanto $d$ são números reais.

Identidades triviais

${\log }_b(1)=0$	porque	$b^0=1$
${\log }_b(b)=1$	porque	$b^1=b$

Note-se que ${\log }_b(0)$ é indefinido porque não existe qualquer número $x$ tal que $b^x=0.$ De fato, existe uma assímptota vertical no gráfico de ${\log }_b(x)$ quando $x=0.$

Cancelando exponenciais

Logaritmos e exponenciais (antilogaritmos) com a mesma base cancelam-se um ao outro. Isto é verdadeiro porque logaritmos e exponenciais são operações inversas (assim como multiplicação e divisão).

$b^{{\log }_b(x)}=x$	porque	${\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b({\log }_b(x))=x$
${\log }_b(b^x)=x$	porque	${\log }_b({\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_b(x))=x$

Mudança de base

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Esta identidade é necessária para obter-se logaritmos em calculadoras. Por exemplo, a maioria das calculadoras tem teclas para ln e para log₁₀, mas não para log₂. Para encontrar-se log₂(3), deve-se calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (ou ln(3)/ln(2), os quais resultam o mesmo resultado).

Demonstração

Considerando-se $y={\log }_{a}b.$

Então $a^y=b.$

Tomando-se ${\log }_c$ em ambos os lados: ${\log }_c{a}^y={\log }_{c}b$

Simplificando e resolvendo para $y:$ $y{\log }_{c}a={\log }_{c}b$

$y=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Dado que $y={\log }_{a}b,$ então ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$

Esta fórmula tem algumas consequências:

${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$

${\log }_{a^n}b=\frac{{\log }_{a}b}{n}$

$a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$

$-{\log }_{a}b={\log }_a\left(\frac{1}{b}\right)={\log }_{\frac{1}{a}}b$

${\log }_{a_1}{b}_1\cdots {\log }_{a_n}{b}_n={\log }_{a_{\pi (1)}}{b}_1\cdots {\log }_{a_{\pi (n)}}{b}_n,$

onde $\pi$ é qualquer permutação dos subscritos 1, …, n. Por exemplo

${\log }_{a}w\cdot {\log }_{b}x\cdot {\log }_{c}y\cdot {\log }_{d}z={\log }_{d}w\cdot {\log }_{a}x\cdot {\log }_{b}y\cdot {\log }_{c}z.$

Soma/subtração

A seguinte regra de soma/subtração é especialmente útil em teoria da probabilidade quando se trata de uma soma de log-probabilidades:

${\log }_b(a+c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1+b^{{\log }_{b}c-{\log }_{b}a})$

${\log }_b(a-c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1-b^{{\log }_{b}c-{\log }_{b}a})$

a qual resulta nos casos especiais:

${\log }_b(a+c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1+\frac{c}{a})$

${\log }_b(a-c)={\log }_{b}a+{\log }_b(1-\frac{c}{a})$

Note-se que na prática $a$ e $c$ tem que ser ligados no lado direito das equações se $c>a.$ Observe-se também que a identidade de subtração não está definida se $a=c$ uma vez que o logaritmo de zero não é definido.

Mais genericamente:

${\log }_b\sum _{i=0}^N{a}_i={\log }_b{a}_0+{\log }_b(1+\sum _{i=1}^N\frac{a_i}{a_0})={\log }_b{a}_0+{\log }_b(1+\sum _{i=1}^N{b}^{({\log }_b{a}_i-{\log }_b{a}_0)})$

onde $a_0,\cdots ,a_N>0.$

Identidades do cálculo

Limites

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{se }a>1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{se }a<1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }\text{se }a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }\text{se }a<1$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^b{\log }_{a}x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x^b}{\log }_{a}x=0$

O último limite é muitas vezes resumido como "logaritmos crescem mais lentamente do que qualquer potência ou raiz de x".

Derivadas de funções logarítmicas

$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b},b>0,b\ne 1$

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x\ln e}=\frac{1}{x},x>0$

Definição integral

$\ln x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{t}dt$

Integrais de funções logarítmicas

$\int {\log }_{a}xdx=x({\log }_{a}x-{\log }_{a}e)+C$

Para lembrar integrais mais altas, é conveniente definir:

$x^{\left[n\right]}=x^n(\log (x)-H_n)$

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log (x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^2\log (x)-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}{x}^2$

$x^{\left[3\right]}=x^3\log (x)-\begin{array}{c}\frac{11}{6}\end{array}{x}^3$

Então,

$\frac{d}{dx}{x}^{\left[n\right]}=n{x}^{[n-1]}$

$\int x^{\left[n\right]}dx=\frac{x^{[n+1]}}{n+1}+C$

Aproximando grandes números

As identidades de logaritmos pode ser usadas para aproximar grandes números. Note-se que log_b(a) + log_b(c) = log_b(a*c), onde a, b, e c são constantes arbitrárias. Supondo-se que quer se aproximat o 44° primo de Mersenne, 2^32.582.657 - 1. Para obter-se o logaritmo de base 10, nós devemos miultiplicar 32.582.657 por log₁₀(2), tomando 9.808.357,09543 = 9.808.357 + 0,09543. Podemos então tomar 10^9.808.357 * 10^0,09543 ≈ 1,25 * 10^9.808.357.

Similarmente, fatoriais podem ser aproximados por somar-se os logaritmos dos termos.

Identidades logarítmicas complexas

O logaritmo complexo é o análogo em números complexos da função logaritmo. Nenhuma função no plano complexo pode satisfazer as regras normais para logaritmos. Entretanto uma função multivalorada pode ser definida a qual satisfaça a maioria das identidades. É comum considerar-se esta como uma função definida em um superfície de Riemann. A única versão valorada chamada valor principal do logaritmo pode ser definida a qual é descontínua no eixo x negativo e é igual a versão de vários valores em um único ramo de corte

Definições

A convenção usada aqui será que a primeira letra em maiúscula é usada para o valor principal das funções e a versão minúscula refere-se à função de valor multivalorada. A única versão valorada de definições e identidades é sempre dada primeiro, seguida por uma seção separada para as várias versões valoradas.

ln(r) é o padrão logaritmo natural do número real r.

Log(z) é o valor principal da função logaritmo complexo e tem parte imaginária no intervalo (-π, π].

Arg(z) é o valor principal da função arg, seu valor é restrito a (-π, π]. Pode ser computado usando-se Arg(x+iy)= atan2(y, x).

$\mathrm{Log}(z)=\ln (|z|)+i\mathrm{Arg}(z)$

$e^{\mathrm{Log}(z)}=z$

A versão valorada múltipla de log(z) é um conjunto, mas é mais fácil escrevê-lo sem barras e usá-lo em fórmulas seguindo regras óbvias.

log(z) é o conjunto dos números complexos v os quais satisfazem e^v = z

arg(z) é o conjunto dos valores possíveis da função arg aplicada a z.

Quando k é qualquer inteiro:

$\mathrm{Log}(z)=\ln (|z|)+i\mathrm{Arg}(z)$

$\log (z)=\mathrm{Log}(z)+2\pi ik$

$e^{\log (z)}=z$

Constantes

Principais formas de valoração:

$\mathrm{Log}(1)=0$

$\mathrm{Log}(e)=1$

Formas de valoração múltipla, para qualquer k inteiro:

$\log (1)=0+2\pi ik$

$\log (e)=1+2\pi ik$

Soma

Principais formas de valoração:

$\mathrm{Log}(z_1)+\mathrm{Log}(z_2)=\mathrm{Log}(z_1{z}_2)(\mathrm{mod}2\pi i)$

$\mathrm{Log}(z_1)-\mathrm{Log}(z_2)=\mathrm{Log}(z_1/z_2)(\mathrm{mod}2\pi i)$

Formas de valoração múltipla:

$\log (z_1)+\log (z_2)=\log (z_1{z}_2)$

$\log (z_1)-\log (z_2)=\log (z_1/z_2)$

Potências

Um potência complexa de um número complexo pode ter muitos valores possíveis.

Principais formas de valoração:

${z_1}^{z_2}=e^{z_2\mathrm{Log}(z_1)}$

$\mathrm{Log}\left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\mathrm{Log}(z_1)(\mathrm{mod}2\pi i)$

Formas de valoração múltipla:

${z_1}^{z_2}=e^{z_2\log (z_1)}$

Onde k₁, k₂ são quaisquer inteiros:

$\log \left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\log (z_1)+2\pi i{k}_2$

$\log \left({z_1}^{z_2}\right)=z_2\mathrm{Log}(z_1)+z_{2}2\pi i{k}_1+2\pi i{k}_2$

• Logarithm in Mathwords