Logaritmo complexo

Na análise complexa, um logaritmo complexo é uma função inversa da função exponencial complexa, assim como o logaritmo natural real ln x é o inverso da função exponencial real e^x. Assim, um logaritmo de um número complexo z é um número complexo w tal que e^w = z. A notação para tal w é ln z ou $log$ z. Como todo número complexo diferente de zero z possui infinitamente muitos logaritmos é necessário cuidado para dar a essa notação um significado inequívoco.

Se z =re^iθ com r> 0 (uma forma polar), então w = ln r + iθ é um logaritmo de z; acrescentando múltiplos inteiros de 2πi dá todos os outros.

Relação no campo de números complexos

Para números reais, temos a seguinte relação:

$y=\ln (x)\iff x=e^y\text{ con }x\in {ℝ}^{+},y\in ℝ.$

Esse relacionamento pode ser usado para estender o logaritmo para o campo complexo:

$w=\ln (z)\iff z=e^w\text{ con }w,z\in ℂ,$

com a única condição $z\ne 0$. Este último relatório permite obter uma expressão explícita para $\ln (z)$. Escrevendo a forma exponencial de $z$

$z=\rho e^{i\theta },$,

segue que

$\rho e^{i\theta }=z=e^w=e^{u+iv}=e^u\cdot e^{iv},$

onde é $u$ e $v$ representa, respectivamente, a parte real e imaginária do desconhecido $\ln (z)$. Da cadeia de igualdades anterior, seguimos os seguintes relacionamentos que determinam $u$ e $v$:

$|z|=\rho =e^u⟹u=\ln |z|$

$e^{i\theta }=e^{iv}⟹v=\arg (z)$

Podemos então escrever

$\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z).$

Note que o logaritmo complexo assume valores infinitos, dado que $\arg (z)$ contém todos os números do tipo $\theta +2k\pi$, com $k\in \mathbb{Z}.$

Por esta razão, não é realmente uma função, mas uma função chamada polidroma.