Teorema de Ehrenfest

Predefinição:Sem-fontes Predefinição:Mecânica-quântica O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩$

onde A é algum operador da mecânica quântica e $⟨A⟩$ é seu valor esperado.

O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.

O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.

Derivação

Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico $\mathrm{\Phi }$. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{d}{dt}\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\mathrm{\Phi }d{x}^3=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)\mathrm{\Phi }d{x}^3+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3$

$=\int \left(\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}\right)A\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩+\int {\mathrm{\Phi }}^{*}A\left(\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}\right)d{x}^3,$

onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:

$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=\frac{1}{i\hslash }H\mathrm{\Phi }$

e isto:

$\frac{\partial {\mathrm{\Phi }}^{*}}{\partial t}=\frac{-1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}{H}^{†}=\frac{-1}{i\hslash }{\mathrm{\Phi }}^{*}H.$

Perceba que $H=H^{†}$ porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:

$\frac{d}{dt}⟨A⟩=\frac{1}{i\hslash }\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(AH-HA)\mathrm{\Phi }d{x}^3+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[A,H]⟩+⟨\frac{\partial A}{\partial t}⟩.$

Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.

Exemplo geral

Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:

$H(x,p,t)=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$

onde $x$ é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento $p$. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,H]⟩+⟨\frac{\partial p}{\partial t}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[p,V(x,t)]⟩$

já que o operador $p$ comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por $-i\hslash \mathrm{\nabla }$, nós obteremos:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\nabla }(V(x,t)\mathrm{\Phi })d{x}^3.$

Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:

$\frac{d}{dt}⟨p⟩=\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(\mathrm{\nabla }V(x,t))\mathrm{\Phi }d{x}^3-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}V(x,t)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }d{x}^3$

$=-\int {\mathrm{\Phi }}^{*}(\mathrm{\nabla }V(x,t))\mathrm{\Phi }d{x}^3$

$=⟨-\mathrm{\nabla }V(x,t)⟩=⟨F⟩,$

mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.

Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.

$\frac{d}{dt}⟨x⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,H]⟩+⟨\frac{\partial x}{\partial t}⟩=$

$=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,\frac{p^2}{2m}+V(x,t)]⟩+0=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,\frac{p^2}{2m}]⟩=$

$=\frac{1}{i\hslash }⟨[x,\frac{p^2}{2m}+V(x,t)]⟩=\frac{1}{i\hslash 2m}⟨[x,p]\frac{d}{dp}{p}^2⟩=$

$=\frac{1}{i\hslash 2m}⟨i\hslash 2p⟩=\frac{1}{m}⟨p⟩$

Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.