Representação de Heisenberg

Predefinição:Sem fontes Predefinição:Mecânica-quântica Na física a Representação de Heisenberg, desenvolvida pelo físico Werner Heisenberg, é a formulação da mecânica quântica onde os operadores (observáveis) são dependentes do tempo e o estado quântico são independentes do tempo. Isto demonstra o contraste com a Representação de Schrödinger na qual os operadores são constantes e o estado quântico se desenvolve no tempo. Estas duas representações apenas se diferem pela mudança na dependência do tempo. Formalmente falando a Representação de Heisenberg é a formulação da mecânica matricial numa base arbitrária, onde o Hamiltoniano não é necessariamente diagonal.

Detalhes matemáticos

Na Representação de Heisenberg da mecânica quântica o estado quântico, $|\psi ⟩$, não se modifica com o tempo, e um observador A satisfaz a equação

$\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hslash }[H,A(t)]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right),$

onde H é o hamiltoniano e [·,·] é o comutador de A e H. Em certo sentido, a Representação de Heisenberg é mais natural e fundamental que a Representação de Schrödinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita.

A similaridade da Representação de Heisenberg com a física clássica é facilmente identificada ao trocar o comutador da equação acima pelos Parênteses de Poisson, então a equação de Heisenberg se tornará uma equação da mecânica hamiltoniana.

Derivando a equação de Heisenberg

Suponha que nós tenhamos um observador A (que é um operador autoadjunto). O valor esperado de A para um dado estado $|\psi (t)⟩$ é dado por:

$⟨A{⟩}_t=⟨\psi (t)|A|\psi (t)⟩$

ou se nós escrevermos a seguinte Equação de Schrödinger

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩$

(onde H é o hamiltoniano independente do tempo e ħ é a Constante de Planck dividida por 2·π) nós teremos

$⟨A{⟩}_t=⟨\psi (0)|e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩,$

e então nós definiremos

$A(t):=e^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }.$

Agora obteremos

$\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hslash }H{e}^{iHt/\hslash }A{e}^{-iHt/\hslash }+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)+\frac{i}{\hslash }{e}^{iHt/\hslash }A\cdot (-H)e^{-iHt/\hslash }$

(diferenciando de acordo com a regra do produto)

$=\frac{i}{\hslash }{e}^{iHt/\hslash }(HA-AH)e^{-iHt/\hslash }+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)=\frac{i}{\hslash }(HA(t)-A(t)H)+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)$

(a última passagem é válida já que $e^{-iHt/\hslash }$ comuta com H.) Nós agora estamos à esquerda da Equação de Heisenberg do movimento

$\frac{d}{dt}A(t)=\frac{i}{\hslash }[H,A(t)]+\left(\frac{\partial A}{\partial t}\right)$

(onde [X, Y] é o comutador dos dois operadores e definidos como [X, Y] := XY − YX).

Agora, se nós fizermos uso do operador de igualdade

$e^{B}A{e}^{-B}=A+[B,A]+\frac{1}{2!}[B,[B,A]]+\frac{1}{3!}[B,[B,[B,A]]]+\cdots$

Nós veremos que para um observador independente do tempo A, nós obteremos:

$A(t)=A+\frac{it}{\hslash }[H,A]-\frac{t^2}{2!{\hslash }^2}[H,[H,A]]-\frac{i{t}^3}{3!{\hslash }^3}[H,[H,[H,A]]]+\dots .$

Devido ao relacionamento entre os Parênteses de Poisson e os comutadores, esta relação também obedece à mecânica clássica.

Relacionamento do comutador

O relacionamento do comutador é bastante diferente à Representação de Schrödinger por causa da dependência do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores $x(t_1),x(t_2),p(t_1)$ e $p(t_2)$. A evolução no tempo destes operadores depende do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmônico de uma dimensão

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{m{\omega }^2{x}^2}{2}$

A evolução da posição e do operador do momento é dada por:

$\frac{d}{dt}x(t)=\frac{i}{\hslash }[H,x(t)]=\frac{p}{m}$

$\frac{d}{dt}p(t)=\frac{i}{\hslash }[H,p(t)]=-m{\omega }^{2}x$

Pela diferenciação de ambas equações e solucionando com as devidas condições iniciais

$\dot{p}(0)=-m{\omega }^2{x}_0$

$\dot{x}(0)=\frac{p_0}{m}$

nos leva a:

$x(t)=x_0\cos (\omega t)+\frac{p_0}{\omega m}\sin (\omega t)$

$p(t)=p_0\cos (\omega t)-m\omega x_0\sin (\omega t)$

Agora nós estamos prontos para diretamente comutar a relação do comutador:

$[x(t_1),x(t_2)]=\frac{i\hslash }{m\omega }\sin (\omega t_2-\omega t_1)$

$[p(t_1),p(t_2)]=i\hslash m\omega \sin (\omega t_2-\omega t_1)$

$[x(t_1),p(t_2)]=i\hslash \cos (\omega t_2-\omega t_1)$

Perceba que para $t_1=t_2$, simplesmente obteremos a já conhecida relação de comutação canônica.

Ver também

• Teorema de Ehrenfest‎
• Covariância de Lorentz
• Representação de Schrödinger
• Representação de Dirac
• Equação de Schrödinger
• Notação Bra-ket

Ligações externas

• Predefinição:Link