Transformada de Abel

A transformada de Abel pode ser interpretada geometricamente como a projeção de uma função circularmente simétrica f(r) sobre uma linha situada a uma dada distância do eixo de simetria. O valor de f é ilustrado em tons de cinza.

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita. Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por ${𝒜}_1$ a ${𝒜}_4$, cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.

A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:

$F(y)=2\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(r)rdr}{\sqrt{r^2-y^2}}.$

Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por:

$f(r)=-\frac{1}{\pi }\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dF}{dy}\frac{dy}{\sqrt{y^2-r^2}}.$

Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional. Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central.

A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis. Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.

Definições

Origem

Abel foi o pioneiro no estudo das equações integrais, ao trabalhar, entre 1802 e 1809, com a chamada equação integral de Abel

$g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(y)}{(x-y{)}^{\alpha }}dy|x>0,0<\alpha <1(1a)$

com g(x) dada e f(x) incógnita. Essa é uma equação integral de Volterra do primeiro tipo; com α = ½, tem relevância na solução do problema da curva tautocrônica, o que foi o fato motivador da pesquisa original. Demonstra-se facilmente que

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(y)}{(x-y{)}^{\alpha }}dy=f(x)*\frac{1}{x^{\alpha }}(1b)$

onde * denota a operação de convolução. A equação de convolução resultante

$g(x)=f(x)*\frac{1}{x^{\alpha }}(1c)$

pode ser resolvida por meio da transformada de Laplace, resultando em

$g(x)=\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }[\frac{g(0+)}{x^{1-\alpha }}+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\frac{d}{dy}g(y)}{(x-y{)}^{1-\alpha }}dy](1d)$

onde g(0+) é uma forma concisa de escrever o limite

$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(y)}{(x-y{)}^{\alpha }}dy\right](1e)$

De forma mais genérica, outras equações integrais em que o integrando é ou pode ser levado, por meio de uma substituição de variáveis, à forma $\frac{f(x)}{h(x-y)}$ são resolvidas pela mesma técnica. Por exemplo, a solução da equação mais geral

$g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(y)\cdot h(x-y)dy|h(u)=0/u<0(1f)$

é dada por

$g(x)=\frac{d}{dy}[\underset{0}{\overset{x}{\int }}g(y)\cdot h(x-y)dy]=g(0+)\cdot h(x)+\underset{0}{\overset{x}{\int }}[\frac{d}{dy}g(y)]\cdot h(x-y)dy(1g)$

e uma equação na forma

$g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\varphi (y)\cdot h(x^2-y^2)dy(1h)$

com as substituições u = x² e v = y², se transforma na equação

$g(x)=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{u}{\int }}\sqrt{v}\cdot \varphi (\sqrt{v})\cdot h(u-v)dv(1i)$

que tem a forma da equação (1f), com $f(v)=\frac{1}{2}\sqrt{v}\cdot \varphi (\sqrt{v})$, e a solução, portanto, é dada por (1g).

Transformadas diretas e inversas

As 4 versões da transformada de Abel são as seguintes:

${𝒜}_1\{f(x)\}=A_1(y)=2\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\cdot f(x)}{\sqrt{x^2-y^2}}dx|y>0(2a)$

${𝒜}_2\{f(x)\}=A_2(y)=\underset{y}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)}{\sqrt{x^2-y^2}}dx|y>0(2b)$

${𝒜}_3\{f(x)\}=A_3(y)=\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{f(x)}{\sqrt{y^2-x^2}}dx|y>0(2c)$

${𝒜}_4\{f(x)\}=A_4(y)=2\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{x\cdot f(x)}{\sqrt{y^2-x^2}}dx|y>0(2d)$.

A solução das equações integrais (2a) a (2d), sob a condição geral

$\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_k(y)=0(4a)$

é dada pela respectiva transformada inversa de Abel:

$f(x)={𝒜}_1^{-1}\{A_1(y)\}=-\frac{1}{\pi x}\left[\frac{d}{dx}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{y\cdot A_1(y)}{\sqrt{y^2-x^2}}dy\right]=-\frac{1}{\pi }\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{d}{dy}{A}_1(y)}{\sqrt{y^2-x^2}}dy(3a)$

$f(x)={𝒜}_2^{-1}\{A_2(y)\}=-\frac{2}{\pi }\left[\frac{d}{dx}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{y\cdot A_2(y)}{\sqrt{y^2-x^2}}dy\right]=-\frac{2x}{\pi }\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\frac{d}{dy}{A}_2(y)}{\sqrt{y^2-x^2}}dy(3b)$

$f(x)={𝒜}_3^{-1}\{A_3(y)\}=\frac{2}{\pi }\left[\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{y\cdot A_3(y)}{\sqrt{x^2-y^2}}dy\right]=\frac{2\cdot A_3(0)}{\pi }+\frac{2x}{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\frac{d}{dy}{A}_3(y)}{\sqrt{x^2-y^2}}dy(3c)$

$f(x)={𝒜}_4^{-1}\{A_4(y)\}=\frac{1}{\pi x}\left[\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{y\cdot A_4(y)}{\sqrt{x^2-y^2}}dy\right]=\frac{A_4(0)}{\pi x}+\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\frac{d}{dy}{A}_4(y)}{\sqrt{x^2-y^2}}dy(3d)$

A transformada ${𝒜}_1$, por ser um caso especial (o caso que apresenta simetria circular) da transformada de Radon bidimensional, pode ainda ser invertida pela fórmula

$f(x)={𝒜}_1^{-1}\{A_1(y)\}=-\frac{1}{\pi }\left[\frac{d}{dx}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\cdot A_1(y)}{y\sqrt{y^2-x^2}}dy\right](3e)$

O núcleo de Abel

A equação (2a) também pode ser escrita na forma

${𝒜}_1\{f(x)\}=A_1(y)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\cdot k(x,y)dxk(x)=\{\begin{array}{ccc}0& :& x<y\\ \\ \frac{2x}{x^2-y^2}& :& x\ge y\end{array}(2e)$

que é a forma de uma transformada integral genérica. A função k(x) é chamada o núcleo de Abel.

Propriedades

Relação geral entre as transformadas

As diferentes versões da transformada de Abel mantêm entre si as seguintes igualdades:

$\begin{array}{ccc}{𝒜}_1\{f(x)\}=2{𝒜}_2\{x\cdot f(x)\}& & {𝒜}_4\{f(x)\}=2{𝒜}_3\{x\cdot f(x)\}\\ \\ {𝒜}_1\left\{\frac{f(x)}{x}\right\}=2{𝒜}_2\{f(x)\}& & {𝒜}_4\left\{\frac{f(x)}{x}\right\}=2{𝒜}_3\{f(x)\}\\ \\ f(x)=\frac{2}{\pi }\frac{d}{dy}{𝒜}_1\{y\cdot A_1(y)\}& & f(x)=-\frac{2}{\pi }\frac{d}{dy}{𝒜}_2\{y\cdot A_2(y)\}\end{array}(4b)$

O núcleo modificado de Abel

A função núcleo modificado de Abel K(y) dada por

$K(y)=\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{-y}}& :& y<0\\ \\ 0& :& y\ge 0\end{array}(4c)$

possui a seguinte propriedade

$K(y)*(K(y)*[\frac{d}{dy}{A}_3(y)])=-\pi A_3(y)(4d)$

(4d) pode ser reescrita em forma de operadores como

$𝐊*𝐊*\mathit{\partial }=-\pi \cdot {𝒜}_3(4e)$

Ou seja, duas convoluções com a função núcleo modificado equivalem à inversa da diferenciação, isto é, a uma integração. Por isso, diz-se que uma convolução equivale a "meia integração". Essa propriedade leva diretamente aos conceitos de derivada fracional e de integral fracional.

Primeiro momento

$\underset{{}^{-}\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{A}_3(y)dy=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x\cdot f(x)dx(4f)$

Valor inicial

$A_3(0)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx(4g)$

Relação com as transformadas de Radon, de Hankel e de Fourier

Se uma função bidimensional f(x,y) possui simetria circular, podemos escrever f(x,y) = f(r). A transformada de Radon de f(r) será uma função apenas de ρ, e podemos fazer θ = 0 na fórmula de definição

$ℛ\{f(x,y)\}=\varphi (\rho ,\theta )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x,y)\cdot \delta (\rho -x\cos (\theta )-y\sin (\theta ))dxdy$

onde $ℛ\{f(x,y)\}$ é a transformada de Radon bidimensional de f(x,y), de forma a obter

$\varphi (\rho )=2\underset{\rho }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u\cdot f(u)}{\sqrt{u^2-{\rho }^2}}du|\rho >0$

que é a definição da transformada de Abel ${𝒜}_3$.

Como ${𝒜}_3$ é um caso especial de $ℛ$, vale o teorema da fatia central e podemos escrever, em forma de operadores

${ℱ}_1{𝒜}_3={ℱ}_2(4h)$

onde ${ℱ}_n$ denota a transformada de Fourier de dimensão n. Essa propriedade é importante porque permite obter transformadas de Abel a partir de tabelas de transformadas de Fourier.

Finalmente, como a transformada de Hankel de ordem 0 ${𝒦}_0$ é idêntica à transformada bidimensional de Fourier para a situação considerada, de simetria circular, e como a transformada de Hankel é sua própria inversa, podemos também escrever

${ℱ}_1{𝒜}_3={𝒦}_0⟹{𝒜}_3^{-1}={𝒦}_0{ℱ}_1(4i)$.

A expressão (4i) é conhecida como o anel (ou o ciclo) de transformadas Abel-Fourier-Hankel (ing. Abel-Fourier-Hankel ring of transforms). Cumpre recordar que a função original f precisa apresentar simetria circular para que a transformação de Abel seja aplicada.

Aplicações

Solução de equações integrais fracionárias

A equação integral de Riemann-Liouville

$g(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\mu )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(y)}{(x-y{)}^{\mu -1}}dy(5a)$

onde Γ(x) é a função gama, é resolvida com ajuda da transformada de Abel ${𝒜}_4$ após a substituição de variáveis x = u² e y = v², e fazendo α = ½. Com isso, (5a) se transforma em

$\sqrt{\pi }\cdot {g(u^2)|}_{\mu =\frac{1}{2}}=2\underset{0}{\overset{u}{\int }}\frac{vf(v^2)}{(u^2-v^2{)}^{\frac{1}{2}}}dv(5b)$

A equação integral de Weyl

$g(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\mu )}\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(y)}{(y-x{)}^{\mu -1}}dy(5c)$

mediante a mesma substituição de variáveis, se transforma em

$\sqrt{\pi }\cdot {g(u^2)|}_{\mu =\frac{1}{2}}=2\underset{u}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{vf(v^2)}{(v^2-u^2{)}^{\frac{1}{2}}}dv(5d)$

Tabelas de transformadas de Abel

Tabela 1 - Transformadas de Abel do tipo 1 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_1(y)$
$\delta (x-a)$	$2a\frac{\chi \left(\frac{y}{a}\right)}{\sqrt{a^2-y^2}}$
$\frac{\chi \left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\pi \cdot \chi \left(\frac{y}{a}\right)$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)$	$2\frac{\chi \left(\frac{y}{a}\right)}{\sqrt{a^2-y^2}}$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)\cdot \sqrt{a^2-x^2}$	$\frac{\pi }{2}\chi \left(\frac{y}{a}\right)\cdot (a^2-y^2)$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)\cdot (a^2-x^2)$	$\frac{4}{3}\chi \left(\frac{y}{a}\right)\cdot (a^2-y^2{)}^{\frac{3}{2}}$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)\cdot (a^2-x^2{)}^{\frac{3}{2}}$	$\frac{3\pi }{8}\chi \left(\frac{y}{a}\right)\cdot (a^2-y^2{)}^2$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)\cdot (a^2-x^2{)}^{\frac{n-1}{2}}$	$C_n\chi \left(\frac{y}{a}\right)\cdot (a^2-y^2{)}^{\frac{n}{2}}$
$\frac{1}{a^2+x^2}$	$\frac{\pi }{\sqrt{a^2+y^2}}$
$e^{-x^2}$	$\sqrt{\pi }\cdot e^{-y^2}$
$x^2{e}^{-x^2}$	$(y^2+\frac{1}{2})\sqrt{\pi }\cdot e^{-y^2}$
$sinc(2ax)$	$\frac{1}{2a}\cdot J_0\cdot sinc(2a\pi y)$
$\cos (ax)$	$-\pi \cdot y\cdot J_1(ay)$
$J_0(ax)$	$\frac{2}{a}\cos (ay)$
$\frac{1}{x}{J}_1(ax)$	$\frac{2}{ay}\sin (ay)$
$\frac{1}{x}{J}_{2n}(2ax)$	$-\pi \cdot J_n(ay)\cdot Y_n(ay)$
$\frac{1}{x}{Y}_{2n}(2ax)$	$\frac{\pi }{2}[J_n^2(ay)-Y_n^2(ay)]$

Tabela 2 - Transformadas de Abel do tipo 2 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_2(y)$
$\frac{\chi \left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\frac{1}{a}\cdot F(\frac{\pi }{2},\sqrt{1-\frac{y}{a}})|y<a$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)$	$\ln \left(\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}\right)|y<a$
$\delta (x-a)$	$\frac{1}{\sqrt{a^2-y^2}}|y<a$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)\cdot \sqrt{a^2-x^2}$	$a\cdot [F(\frac{\pi }{2},\sqrt{1-\frac{y}{a}})-E(\frac{\pi }{2},\sqrt{1-\frac{y}{a}})]|y<a$
$\frac{x^2\cdot \chi \left(\frac{x}{a}\right)}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$a\cdot E(\frac{\pi }{2},\sqrt{1-\frac{y}{a}})|y<a$
$(a-x)\cdot \chi \left(\frac{x}{a}\right)$	$\ln \left(\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y}\right)-\sqrt{a^2-y^2}|y<a$
$\sin (ax)$	$\frac{\pi }{2}{J}_0(ay)$
$x\cdot \cos (ax)$	$-\frac{\pi }{2}\cdot y\cdot J_1(ay)$
$x\cdot J_0(ax)$	$\frac{1}{a}\cos (ay)$

Tabela 3 - Transformadas de Abel do tipo 3 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_3(y)$
$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$\frac{1}{a}F(\frac{\pi }{2},\frac{y}{a})|y<a$
$\chi \left(\frac{x}{a}\right)$	$\arcsin \left(\frac{a}{y}\right)|y>a$
$\delta (x-a)$	$\sqrt{y^2-a^2}|y>a$
$\sqrt{a^2-x^2}$	$aE(\frac{\pi }{2},\frac{y}{a})|y<a$
$\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$a\cdot [F(\frac{\pi }{2},\frac{y}{a})-E(\frac{\pi }{2},\frac{y}{a})]|y<a$
$(a-x)$	$\frac{a\pi }{2}-y|y<a$
$\cos (ax)$	$\frac{\pi }{2}{J}_0(ay)$
$x\cdot \sin (ax)$	$\frac{\pi }{2}\cdot y\cdot J_1(ay)$
$x\cdot J_0(ax)$	$\frac{1}{a}\sin (ay)$
$J_{2n}(ax)$	$\frac{\pi }{2}\cdot {\left[J_n\left(\frac{ay}{2}\right)\right]}^2$
$x^{n+1}\cdot J_n(ax)$	$\sqrt{\frac{\pi }{2a}}{y}^{n+\frac{1}{2}}\cdot J_{n+\frac{1}{2}}(ay)$
onde: $\chi (x)$ é a função indicadora para o círculo de raio unitário $\delta (x)$ é a função impulso unitário $sinc(x)$ é a função seno cardinal $J_n(x)$ é a função de Bessel de primeira espécie de ordem n $Y_n(x)$ é a função de Bessel de segunda espécie de ordem n $F(x)$ é a integral elíptica de primeira espécie $E(x)$ é a integral elíptica de segunda espécie $C_n$ é o valor da integral $2\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}{\cos }^n(x)dx$ $a\in ℛ|a>0$ $n\in 𝒩$

Ver também

• Teorema da convolução
• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier

Predefinição:Referências