Função sinc

Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por $\mathrm{sinc}(x)$ e às vezes como $Sa(x)$, tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}.$

Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os $x$ é $1$. A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais originais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.

Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por

$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (x)}{x}.$

A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite $1$. A função sinc é analítica em toda parte.

Propriedades

A função sinc normalizada (em azul) e a função sinc não-normalizada (em vermelho), mostradas na mesma escala de $x=-6\pi a6\pi$.

Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de $\pi$; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.

Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, $\frac{\mathrm{sen}(\xi )}{\xi }=\cos (\xi )$ para todos os $\xi$ onde a derivada de $\frac{\mathrm{sen}(x)}{x}$ é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).

A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2})$

e está relacionada à função gama $\mathrm{\Gamma }(x)$ pela fórmula de reflexão de Euler:

$\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+x)\mathrm{\Gamma }(1-x)}.$

Euler descobriu que

$\frac{\sin (x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{2^n}\right).$

A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect($f$),

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{sinc}(t)e^{-i2\pi ft}dt=\mathrm{rect}(f),$

onde a função retangular é $1$ para argumentos entre $-\frac{1}{2}e\frac{1}{2}$, e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}dx=\mathrm{rect}(0)=1$

é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\left|\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}\right|dx=+\mathrm{\infty }.$

A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:

• É uma função de interpolação, ou seja, $\mathrm{sinc}(0)=1$, e $\mathrm{sinc}(k)=0$ para $k$ inteiros e não-nulos.
• As funções $x_k(t)=\mathrm{sinc}(t-k)$ formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções $L^2(R)$, cuja maior frequência angular é ${\omega }_H=\pi$ (isto é, o ciclo de frequência mais alto é $f_H=\frac{1}{2}$).

Outras propriedades das duas funções sinc são:

• O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, $j_0(x)$. O sinc normalizado é $j_0(\pi x)$ .

• $\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sin (\theta )}{\theta }d\theta =\mathrm{Si}(x)$

onde $Si(x)$ é o seno integral.

• $\lambda \cdot \mathrm{sinc}(\lambda x)$ (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear

$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2\frac{dy}{dx}+{\lambda }^{2}xy=0.$

A outra solução é $\frac{\cos (\lambda x)}{x}$, que diverge em $x=0$, ao contrário da função sinc.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^2(\theta )}{{\theta }^2}d\theta =\pi \to \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sinc}}^2(x)dx=1.$

onde o sinc normalizado é significativo.

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^3(\theta )}{{\theta }^3}d\theta =\frac{3\pi }{4}$

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^4(\theta )}{{\theta }^4}d\theta =\frac{2\pi }{3}$

Ver também

• Integral de Borwein
• Integral de Dirichlet
• Função de Dirichlet
• Aliasing
• Filtro sinc
• Reamostragem de Lanczos
• Interpolação de Whittaker–Shannon
• Função suave
• Processamento de sinal
• Constante de normalização
• Integral
• Função retangular
• Variáveis dependentes e independentes
• Sistema de coordenadas cartesiano
• Singularidade removível
• Função analítica
• Função gama
• Filtro passa-baixo
• Integral imprópria
• Integral de Lebesgue
• Interpolação
• Amostragem de sinal
• Base ortonormal
• Espaço Lp
• Função de Bessel
• Equação diferencial ordinária
• Delta de Dirac
• Função indicadora

• Predefinição:Tradução/ref

Ligações externas

• Predefinição:MathWorld