Índice múltiplo

A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações diferenciais parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.

Definição

Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma

$\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$

de inteiros não negativos. Para índices múltiplos $\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}_0^n$ e $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$ se define:

• Soma e diferença

$\alpha \pm \beta =({\alpha }_1\pm {\beta }_1,{\alpha }_2\pm {\beta }_2,\dots ,{\alpha }_n\pm {\beta }_n)$

• Conjunto parcialmente ordenado

$\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$

• Soma de componentes

$|\alpha |={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$

• Fatorial

$\alpha !={\alpha }_1!\cdot {\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!$

• Coeficiente binomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{\beta })=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_1}{{\beta }_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_2}{{\beta }_2})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\alpha }_n}{{\beta }_n})=\frac{\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}$

• Teorema multinomial

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{\alpha })=\frac{k!}{{\alpha }_1!{\alpha }_2!\cdots {\alpha }_n!}=\frac{k!}{\alpha !}$ onde $|\alpha |=k$

• Exponenciação

$x^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}{x}_2^{{\alpha }_2}\dots x_n^{{\alpha }_n}$

• Derivada parcial

${\partial }^{\alpha }=\underset{1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\underset{2}{\overset{{\alpha }_2}{\partial }}\dots \underset{n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}$ onde $\underset{i}{\overset{{\alpha }_i}{\partial }}:={\partial }^{{\alpha }_i}/\partial x_i^{{\alpha }_i}$

Ligações externas

• Predefinição:Planetmath