Desigualdade de Hardy-Littlewood

Em análise matemática, a desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que se f e g são funções reais mensuráveis não negativas definidas em Rⁿ que se anulam no infinito, então

$\underset{R^n}{\int }f(x)g(x)dx\le \underset{R^n}{\int }{f}^{*}(x)g^{*}(x)dx$

onde f^* e g^* são os rearranjos simétricos decrescentes das funções f(x) e g(x), respectivamente.

Demonstração

Pelo representação bolo de camadas, tem-se:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{f(x)>r}dr$

$g(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{g(x)>s}ds$

onde ${\chi }_{f(x)>r}$ denota a função indicadora (ou função característica) do subconjunto E _f dado por

$E_f=\{x\in X:f(x)>r\}$

Analogamente, ${\chi }_{g(x)>s}$ denota a função indicadora do subconjunto E _g dado por

$E_g=\{x\in X:g(x)>s\}$

$\begin{array}{cc}\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(x)dx& =\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\chi }_{f(x)>r}{\chi }_{g(x)>s}drdsdx\\ & =\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{{ℝ}^n}{\int }{\chi }_{f(x)>r\cap g(x)>s}dxdrds\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu \left(\left\{{\chi }_{f(x)>r\cap g(x)>s}\right\}\right)drds\\ & \le \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\min (\mu (f(x)>r);\mu (g(x)>s))drds\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\min (\mu (f^{*}(x)>r);\mu (g^{*}(x)>s))drds\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mu \left(\left\{{\chi }_{f^{*}(x)>r\cap g^{*}(x)>s}\right\}\right)drds\\ & =\underset{{ℝ}^n}{\int }{f}^{*}(x)g^{*}(x)dx\end{array}$

Ver também

• Desigualdade do rearranjo