Rearranjo simétrico decrescente

Em matemática, o rearranjo simétrico decrescente de uma função real definida em ${ℝ}^n$ é uma função radialmente simétrica e decrescente, cujos conjuntos de nível têm a mesma medida dos respectivos conjuntos de nível da função original.

Definições para conjuntos

Dado um conjunto mensurável A, o rearranjo simétrico de A, denotado A^*, é a bola centrada na origem cuja medida é igual à medida de A:

$A^{*}=\{x:|x|<r\},$

onde o r é dado por

${\omega }_n{r}^n=\mu (A)$

aqui ${\omega }_n$ é a medida da bola unitária.

Definição para funções

O rearranjo simétrico decrescente de um a função não-negativa, mensurável $f$ é definido como

$f^{*}(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝕀}_{\{y:f(y)>t{\}}^{*}}(x)dt.$

Esta definição é motivada pela seguinte identidade, conhecida como representação bolo de camadas:

$f(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{𝕀}_{\{y:f(y)>t\}}(x)dt,$

vávlida para funções não-negativas.

Propriedades

A função $f^{*}$ é radialmente simétrica e decrescente e seus superconjuntos de nível possuem a mesma medida dos superconjuntos de nível de f:

$|\{x:f^{*}(x)>t\}|=|\{x:f(x)>t\}|.$

Se $f$ é uma função em $L^p$, então

$\Vert f{\Vert }_{L^p}=\Vert f^{*}{\Vert }_{L^p}.$

A desigualdade de Hardy-Littlewood estabelece que

$\int fg\le \int f^{*}{g}^{*}.$

A desigualdade de Szego estabelece que se $1\le p<\mathrm{\infty }$ e se $f\in W^{1,p}$, então

$\Vert \mathrm{\nabla }{f}^{*}{\Vert }_p\le \Vert \mathrm{\nabla }f{\Vert }_p.$

O rearranjo simétrico decrescente preserva ordem:

$f\le g\Rightarrow f^{*}\le g^{*}$

e reduz a distância em $L^p$:

$\Vert f-g{\Vert }_{L^p}\ge \Vert f^{*}-g^{*}{\Vert }_{L^p}.$

Predefinição:Referências