Constante de Gelfond

Em matemática, a constante de Gelfond, nomeada em memória de Alexander Gelfond, é e^π, isto é, e na potência π. Assim como e e π, esta constante é um número transcendental. Isto foi estabelecido a primeira vez por Gelfond e pode atualmente ser considerado uma aplicação do teorema de Gelfond-Schneider, observando que

e^{π} = (e^{i π})^{- i} = (- 1)^{- i}

sendo i a unidade imaginária. Como −i é algébrico, mas certamente não racional, e^π é transcendental. A constante foi mencionada no sétimo problema de Hilbert.^[1] Uma constante relacionada é $2^{\sqrt{2}}$ , conhecida como constante de Gelfond–Schneider. O valor relacionado π + e^π é também irracional.^[2]

Valor numérico

A expansão decimal da constante de Gelfond começa com

e^{π} \approx 23.14069263277926 \dots .

Se definirmos $k_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ e

k_{n + 1} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_{n}^{2}}}{1 + \sqrt{1 - k_{n}^{2}}}

para $n > 0$ , então a sequência^[3]

(4 / k_{n + 1})^{2^{- n}}

converge rapidamente para $e^{π}$ .

O volume da bola n-dimensional é dado por:

V_{n} (R) = \frac{π^{\frac{n}{2}} R^{n}}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} .

sendo $R$ seu raio e $Γ$ é a função gama. Qualquer bola unitária de dimensionalidade par tem volume:

V_{2 n} (1) = \frac{π^{n}}{n!}

.

Somando todos os volumes das bolas unitárias de dimensionalidade par obtemos:^[4]

\sum_{n = 0}^{\infty} V_{2 n} (1) = e^{π} .

Alan Baker e Gisbert Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs 9, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2