Nó de trevo

Predefinição:Info/Teoria dos nós Ficheiro:Trefoil knot.webmNó de trevo (ou nó trifólio) é o exemplo mais simples de um nó não trivial. Pode ser obtido juntando as duas extremidades, resultando em um laço atado. Como o nó simples, o nó de trevo é fundamental para o estudo da teoria dos nós matemática, onde tem diversas aplicações em topologia e geometria.

O nó tem esse nome por causa de sua semelhança com folhas do trevo.

Descrição

O nó de trevo pode ser definido com as seguintes equações paramétricas:

$x=\sin t+2\sin 2t$

$y=\cos t-2\cos 2t$

$z=-\sin 3t$

Qualquer deformação contínua da curva acima também é considerada um nó de trevo. Especificamente, qualquer curva isotópica a um nó de trevo é também considerada um nó de trevo. Além disso, a imagem espelhada (ou especular) de um nó de trevo também é considerada como um trevo. Na topologia e na teoria dos nós, o trevo é geralmente definido usando um diagrama de nó em vez de uma equação paramétrica explícita.

Na geometria algébrica, o trevo também pode ser obtido como a intersecção em C² da esfera tridimensional unitária S³ com a curva plana complexa de zeros do polinômio complexo z² + w³ (uma parábola semicúbica).Predefinição:Multiple imageSe uma extremidade de uma fita (ou faixa) é virada três vezes e, em seguida, colada na outra, o bordo do papel forma um nó de trevo.

Simetria

O nó de trevo é quiral, no sentido de que um nó de trevo pode ser distinguido de sua própria imagem espelhada. As duas variantes resultantes são conhecidas como o trevo canhoto e o trevo destro. Não é possível deformar um trevo canhoto continuamente em um trevo destro, ou vice-versa. (Ou seja, os dois trevos não são isotópicos.) Embora o nó de trevo seja quiral, é também invertível, significando que não há nenhuma distinção entre um trevo orientado no sentido anti-horário e um trevo orientado no sentido horário. Ou seja, a quiralidade de um trevo depende apenas da forma como se dão os cruzamentos, não da orientação da curva.

Nó de mão torna-se um nó trevo juntando as extremidades.

Não trivialidade

O nó de trevo não é trivial, o que significa que não é possível "desatar" um nó de trevo em três dimensões sem cortá-lo. Do ponto de vista matemático, isso significa que um nó de trevo não é isotópico a um círculo, que é o nó trivial. Em particular, não há nenhuma seqüência de movimentos de Reidemeister que irá desatar um trevo.

Provar isso requer a construção de um invariante de nós que distinga o trevo do nó trivial. O invariante mais simples que faz isso a propriedade de ser ou não tricolorizável: o trevo é tricolorizável, mas o nó trivial não é. Além disso, praticamente todos os invariantes polinomiais de nós distinguem o trevo de um nó trivial, assim como a maioria dos invariantes de nós relevantes.

Classificação

Na teoria dos nós, o trevo é o primeiro nó não trivial, e é o único nó com três cruzamentos. É um nó primo, e é listado como 3_1 na notação de Alexander-Briggs. A notação de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notação de Conway para o trevo é [3].

O trevo pode ser descrito como o nó toral (2,3). É também o nó obtido pelo fechamento da trança σ13.

O trevo é um nó alternado. No entanto, não é um nó de fatia, o que significa que ele não limita um disco bidimensional suave na bola de quatro dimensões; uma maneira de provar isso é notar que sua assinatura não é zero. Outra prova é que seu polinômio de Alexander não satisfaz a condição de Fox-Milnor.

O trevo é um nó fibrado, o que significa que seu complemento em $S^3$ é um feixe de fibras sobre o círculo $S^1$. No modelo do trevo como o conjunto de pares $(z,w)$ de números complexos tais que $|z{|}^2+|w{|}^2=1$ e $z^2+w^3=0$, esse feixe de fibras tem o mapa de Milnor $\varphi (z,w)=(z^2+w^3)/|z^2+w^3|$ como sua fibração, e um toro com um furo como sua superfície de fibra.

Invariantes

O polinômio de Alexander do nó de trevo éː

$\mathrm{\Delta }(t)=t-1+t^{-1},$

e o polinômio de Conway éː

$\mathrm{\nabla }(z)=z^2+1.$

O polinômio de Jones éː

$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},$

e o polinômio de Kauffman do trevo éː

$L(a,z)=z{a}^5+z^2{a}^4-a^4+z{a}^3+z^2{a}^2-2a^2.$

O grupo de nó do trevo é dado pela apresentação

$⟨x,y\mid x^2=y^3⟩$

ou, equivalentemente,

$⟨x,y\mid xyx=yxy⟩.$

Esse grupo é isomórfico ao grupo de tranças com três cordas.

Na religião e na cultura

Como o mais simples nó não trivial, o nó de trevo é um motivo comum na iconografia e artes visuais. Por exemplo, a forma comum do símbolo de triquetra é um trevo, como são algumas versões do Valknut.

Galeria de Fotos

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  Superfície de um nó de trevo
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  Superfície de um nó de trevo
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  Forma de um nó de trevo sem simetria visual tridimensional
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  O nó de trevo é um nó tricolorizável
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  Visualização tridimensional de uma curva isotópica ao nó de trevo
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  Superfície ilustrando o bordo do nó trifólio, parte do acervo da Matemateca IME-USP

Ver também

• Nó (matemática)
• Nó primo
• Teoria dos Nós
• Anexo:Lista de nós
• Triquetra, um símbolo originário da tradição celta que é relacionado com o nó de trevo.

Ligações externas

• Wolframalpha: (2,3)-torus knot