Oscilador Harmônico Fracionário

O Oscilador Harmônico Fracionário é um dos melhores exemplos no qual a Modelagem Fracionária, feita via Cálculo Fracionário traz uma descrição mais precisa da realidade comparada à equação de ordem inteira. Para isso, é necessário lembrar como funciona o Oscilador Harmônico Simples.

Resumo do Oscilador Harmônico Simples

A equação diferencial associada a um Oscilador Harmônico, no caso de um sistema massa-mola é dada, a partir da Segunda Lei de Newton por. :

$m\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)+c\frac{d}{dt}x(t)+kx(t)=g(t)$,

na qual, temos um corpo de massa ‘‘m’’, no tempo ‘‘t’’, a partir da posição de equilíbrio, sujeito a uma força elástica, do tipo Hooke, ‘‘-kx(t)’’, uma força de amortecimento $c\frac{d}{dt}x(t)$ e a uma força externa g(t), onde ‘‘c’’ e ‘‘k’’ são constantes positivas.

Analisa-se o particular caso na qual não conta com a presença de atritos, nem forças externas atuando sobre o sistema, sendo assim, a equação ficaria: $m\frac{d^2}{d{t}^2}x(t)+kx(t)=0$,

Gráfico da Solução do Oscilador Harmônico Simples $x(t)=x_{0}cos({\omega }_{0}t)$

com as condições iniciais $x(0)=x_0$ e $x^{\prime }(0)=0$.

Aplicando a Transformada de Laplace obtém-se:

$m{s}^{2}F(s)-ms{x}_0+kF(s)=0⟹F(s)=x_0\frac{s}{s^2+{{\omega }_0}^2}$ ,

na qual ‘‘F(s)’’ é a transformada de Laplace de ‘‘x(t)’’, ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada e ${{\omega }_0}^2=\sqrt{k/m}$.

Com a finalidade de recuperar a solução do problema, aplica-se a Transformada de Laplace Inversa na equação anterior, obtendo assim:

$x(t)=x_{0}cos({\omega }_{0}t)$.

Representado pelo gráfico ao lado:

Oscilador Harmônico Fracionário

Quando a modelagem fracionária é aplicada em alguma equação diferencial, espera-se que ao diminuir a ordem da derivada, obtenha-se uma explicação melhor da realidade. Ao invés de considerar diferentes tipos de atrito na equação, substituímos a derivada de ordem 2, presente na equação do Oscilador harmônico simples por uma derivada no sentido de Caputo de ordem $\alpha$, com $1<\alpha ⩽2$, com as condições iniciais $x(0)=0$ e $x^{\prime }(0)=v_0$ Ainda com a equação de ordem inteira,

$x^{\prime \prime }(t)+{{\omega }_0}^{2}x(t)=0$ ou

$x^{\prime \prime }(t)=-{{\omega }_0}^{2}x(t)$.

Aplicando o operador Integral de Ordem 1 $(I^{1}f(t)=\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}f(t)dt)$, para colocar a equação diferencial em forma de uma equação integral, temos: $\underset{0}{\overset{t}{\int }}{x}^{\prime \prime }(t_1)d{t}_1=-{{\omega }_0}^2\underset{0}{\overset{t}{\int }}x(t_1)d{t}_1$

$x^{\prime }(t_1){|}_0^t=-{{\omega }_0}^2{I}^1[x(t)]$

$x^{\prime }(t)-x^{\prime }(0)=-{{\omega }_0}^2{I}^1[x(t)]$

$x^{\prime }(t)=x^{\prime }(0)-{{\omega }_0}^2{I}^1[x(t)]$

Aplicando $I^1$ novamente:

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}{x}^{\prime }(t_1)d{t}_1=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{x}^{\prime }(0)d{t}_1-{{\omega }_0}^2\underset{0}{\overset{t}{\int }}{I}^1[x(t)]d{t}_1$

$x(t_1){|}_0^t=x^{\prime }(0)t_1{|}_0^t-{{\omega }_0}^2{I}^2[x(t)]$

$x(t)=x(0)+t{x}^{\prime }(0)-{{\omega }_0}^2{I}^2[x(t)]$

Convertemos a equação para trabalhar com o conceito de Integral Fracionária. Substituindo a ordem da Integral para uma de ordem não inteira, temos:

$x(t)=x(0)+t{v}_0-{{\omega }_0}^{\alpha }{I}^{\alpha }[x(t)]$.

Antes de aplicar a Transformada de Laplace, precisamos lembrar que: $ℒ\left\{x(t)\right\}=X(s)$, na qual ‘‘s’’ é o parâmetro da transformada. $I^{\alpha }f(t)={\varphi }_{\alpha }*f(t)$, A integral fracionária é definida pelo produto de convolução$(*)$ entre a função de Gel’fand Shilov e ‘‘f(t)’’, daí temos que: $I^{\alpha }f(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{f(\tau )}{(t-\tau {)}^{1-\alpha }}d\tau$

Aplicando a Transformada, temos:

$X(s)=\frac{x_0}{s}+\frac{v_0}{s^2}-{{\omega }_0}^2ℒ\{{\varphi }_{\alpha }(t)*x(t)\}$

$[1+{{\omega }_0}^2{s}^{-\alpha }]X(s)=x_0{s}^{-1}+v_0{s}^{-2}$

$X(s)=x_0\frac{s^{\alpha -1}}{s^{\alpha }+{{\omega }_0}^2}+v_0\frac{s^{\alpha -2}}{s^{\alpha }+{{\omega }_0}^2}$

Como : $ℒ\left\{t^{\beta -1}{E}_{\alpha ,\beta }(k{t}^{\alpha })\right\}=\frac{s^{\alpha -\beta }}{s^{\alpha }-k}$ , se $\beta =1$ e $k=-{{\omega }_0}^{\alpha }$, podemos aplicar a Transformada de Laplace Inversa, resultando em:

$x(t)=x_0{E}_{\alpha }(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha })+v_{0}t{E}_{\alpha ,2}(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha })$,

onde $E_{\alpha }(z)$ e $E_{\alpha ,\beta }(z)$ são as funções de Mittag-Leffler com um e dois parâmetros respectivamente.

Para $v_0=0$

$x(t)=x_0{E}_{\alpha }(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha }).$

Tomando o limite: $\underset{\alpha \to 2}{\lim }x(t)=x_0{E}_2(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha })$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k({\omega }_{0}t{)}^{2k}}{\mathrm{\Gamma }(2k+1)}$

$=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k({\omega }_{0}t{)}^{2k}}{(2k)!}$

$=x_{0}cos({\omega }_{0}t).$

Ou seja, recupera-se a solução do oscilador harmônico de ordem inteira.

Representação Gráfica

Gráfico de $x(t)=x_0{E}_{\alpha }(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha })$

A solução fracionária $x(t)=x_0{E}_{\alpha }(-({\omega }_{0}t{)}^{\alpha })$ pode ser visualizada no gráfico, com diferentes valores para a ordem da derivada. Por conveniência toma-se $x_0=1$

É possível observar que para $\alpha =2$ recupera-se a solução para o oscilador harmônico simples, e para $\alpha <2$ obtém-se soluções parecidas com o oscilador harmônico amortecido. Assim, fica claro que a modelagem fracionária nos proporciona um detalhamento mais preciso da realidade.