Teorema do gradiente

O teorema do gradiente, também conhecido como teorema fundamental do cálculo, para integrais de linha, diz que a integral de linha através do campo gradiente pode ser estimada calculando-se o campo escalar original nos pontos finais da curva.

Dado Predefinição:Math e Predefinição:Mvar é qualquer curva de Predefinição:Math para Predefinição:Math. Então,

$\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right)=\underset{\gamma [𝐩,𝐪]}{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐫)\cdot \mathrm{d}𝐫.$

Isso é uma generalização do teorema fundamental do cálculo para qualquer curva no plano ou no espaço (geralmente n-dimensões).

Implica ao teorema do gradiente que as integrais de linha através dos campos de gradiente são independentes do caminho. Na física, esse teorema é uma das maneiras de definir a força conservativa. Ao colocar Predefinição:Mvar como um potencial, Predefinição:Math é um campo conservativo. O trabalho realizado pelas forças conservativas não dependem do caminho seguido pelo objeto, depende somente dos pontos finais, como mostra a equação acima.

O teorema do gradiente também possui uma afirmação interessante: qualquer campo vetorial independente do caminho pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. Assim como o próprio teorema do gradiente, essa consideração tem muitas consequências e aplicações marcantes na matemática pura e na matemática aplicada.

Prova

Se Predefinição:Mvar é uma função diferenciável de algum subconjunto aberto Predefinição:Mvar (de Predefinição:Math) para Predefinição:Math, e se Predefinição:Math é uma função diferenciável em algum intervalo fechado Predefinição:Math para Predefinição:Mvar, então, pela regra da cadeia, a função composta Predefinição:Math é diferenciável em Predefinição:Math e

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\phi \circ 𝐫)(t)=\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)$

para todo Predefinição:Mvar em Predefinição:Math. Aqui o Predefinição:Math é usual para denotar o produto interno.

Agora, supõem-se que o domínio Predefinição:Mvar de Predefinição:Mvar contenha a curva diferencial Predefinição:Mvar com pontos finais Predefinição:Math e Predefinição:Math, respectivamente (orientados na direção de Predefinição:Math para Predefinição:Math). Se Predefinição:Math parametriza Predefinição:Mvar para Predefinição:Mvar em Predefinição:Math, então a equação acima mostra que

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\phi (𝐮)\cdot \mathrm{d}𝐮& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\mathrm{\nabla }\phi (𝐫(t))\cdot {𝐫}^{\prime }(t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{d}{dt}\phi (𝐫(t))\mathrm{d}t=\phi (𝐫(b))-\phi (𝐫(a))=\phi \left(𝐪\right)-\phi \left(𝐩\right),\end{array}$

onde a definição de integral de linha é usada na primeira igualdade e o teorema fundamental do cálculo na terceira igualdade.

Exemplos

Exemplo 1

Suponha Predefinição:Math é o arco circular orientado no sentido anti-horário conforme: Predefinição:Math para Predefinição:Math. Usando a definição da integral de linha,

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y& =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}((5\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}t)(-5\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}t)+(5\cos t)(5\cos t))\mathrm{d}t\\ & =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}25(-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}t+{\cos }^{2}t)\mathrm{d}t\\ & =\underset{0}{\overset{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}{\int }}25\cos (2t)\mathrm{d}t\\ & ={\frac{25}{2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2t)|}_0^{\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)}\\ & =\frac{25}{2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2\pi -2{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right))\\ & =-\frac{25}{2}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\left(2{\tan }^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\right)\\ & =-\frac{25\left(\frac{3}{4}\right)}{{\left(\frac{3}{4}\right)}^2+1}=-12.\end{array}$

Observa-se todos os cálculos meticulosos envolvidos no cálculo direto da integral. Em vez de executar esse procedimento, considerando que a função Predefinição:Math é diferenciável em todo o Predefinição:Math, pode-se simplificar, usando o teorema do gradiente para dizer que,

$\underset{\gamma }{\int }y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y=\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }(xy)\cdot (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)=xy{|}_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.$

Nota-se que para qualquer método adotado o resultado será o mesmo. Porém, utilizando o último procedimento, todo o trabalho já é realizado na prova do teorema do gradiente.

Exemplo 2

Num exemplo mais abstrato, suponha Predefinição:Math tendo Predefinição:Math, Predefinição:Math como pontos finais, com orientação de Predefinição:Math para Predefinição:Math. Para Predefinição:Math no Predefinição:Math, |Predefinição:Math| denota a norma Euclidiana de Predefinição:Math. Se Predefinição:Math é um número real, então

$\begin{array}{cc}\underset{\gamma }{\int }|𝐱{|}^{\alpha -1}𝐱\cdot \mathrm{d}𝐱& =\frac{1}{\alpha +1}\underset{\gamma }{\int }(\alpha +1)|𝐱{|}^{(\alpha +1)-2}𝐱\cdot \mathrm{d}𝐱\\ & =\frac{1}{\alpha +1}\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }|𝐱{|}^{\alpha +1}\cdot \mathrm{d}𝐱=\frac{|𝐪{|}^{\alpha +1}-|𝐩{|}^{\alpha +1}}{\alpha +1}\end{array}$

Aqui a igualdade final segue o teorema do gradiente, já que a função f(x) = |x|^α+1 é diferenciável em Predefinição:Math se Predefinição:Math.

Se Predefinição:Math então essa equivalência de manterá na maioria dos casos, devendo-se tomar cuidado se γ transpôr ou cercar a origem, porque o campo vetorial da integral (|x|^α-1)*x não está definido ali. No entanto, o caso Predefinição:Math é um pouco diferente; pois o integrando se torna (|x|^-2)*x = ∇(log|x|), para que a igualdade final se torne log |q| - log |p|.

Exemplo 3

Supomos que existam Predefinição:Mvar cargas pontuais dispostas num espaço tridimensional e a Predefinição:MvarPredefinição:Mvar carga pontual tem carga Predefinição:Math e está localizada na posição Predefinição:Math no Predefinição:Math. Quer-se calcular o trabalho realizado na partícula de carga Predefinição:Mvar enquanto ela viaja de um ponto Predefinição:Math para outro ponto Predefinição:Math no Predefinição:Math. Usando a Lei de Coulomb, pode-se facilmente determinar que a força na partícula na posição Predefinição:Math será

$𝐅(𝐫)=kq\sum _{i=1}^n\frac{Q_i(𝐫-{𝐩}_i)}{{|𝐫-{𝐩}_i|}^3}$

Aqui |Predefinição:Math| denota a norma Euclidiana do vetor Predefinição:Math no Predefinição:Math, e Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é a permissividade do vácuo.

Tomando Predefinição:Math por uma curva arbitrável diferenciável de Predefinição:Math para Predefinição:Math, então o trabalho feito na partícula é:

$W=\underset{\gamma }{\int }𝐅(𝐫)\cdot \mathrm{d}𝐫=\underset{\gamma }{\int }\left(kq\sum _{i=1}^n\frac{Q_i(𝐫-{𝐩}_i)}{{|𝐫-{𝐩}_i|}^3}\right)\cdot \mathrm{d}𝐫=kq\sum _{i=1}^n(Q_i\underset{\gamma }{\int }\frac{𝐫-{𝐩}_i}{{|𝐫-{𝐩}_i|}^3}\cdot \mathrm{d}𝐫)$

Agora, para cada Predefinição:Mvar, o cálculo direto mostra que

$\frac{𝐫-{𝐩}_i}{{|𝐫-{𝐩}_i|}^3}=-\mathrm{\nabla }\frac{1}{|𝐫-{𝐩}_i|}.$

Assim, continuando os passos acima e usando o teorema do gradiente,

$W=-kq\sum _{i=1}^n(Q_i\underset{\gamma }{\int }\mathrm{\nabla }\frac{1}{|𝐫-{𝐩}_i|}\cdot \mathrm{d}𝐫)=kq\sum _{i=1}^n{Q}_i(\frac{1}{|𝐚-{𝐩}_i|}-\frac{1}{|𝐛-{𝐩}_i|})$

chega-se a essa conclusão final. Poderíamos ter completado facilmente esse cálculo usando o potencial eletrostático ou a energia potencial eletrostática (com as recorrentes fórmulas Predefinição:Math). No entanto, ainda não se definiu o potencial de energia, porque a afirmação do teorema do gradiente é necessária para provar que essas funções são bem definidas e diferenciáveis ​​e que essas fórmulas são válidas. Portanto, resolvemos este problema utilizando apenas a Lei de Coulomb, a definição de trabalho e o teorema do gradiente.

Afirmação do Teorema do Gradiente

O teorema do gradiente afirma que se campo vetorial Predefinição:Math é o gradiente de alguma função com valor escalar (i.e., e se Predefinição:Math for conservativo), então Predefinição:Math é um campo vetorial independente do caminho (i.e., a integral de Predefinição:Math ao longo de uma curva diferenciada por partes é dependente apenas dos pontos finais).

Este teorema tem uma forte afirmação:

Se Predefinição:Math é um campo vetorial independente de caminho, então Predefinição:Math é o gradiente de alguma função com valor escalar.

É simples mostrar que um campo vetorial é independente do caminho se, e somente se, a integral do campo vetorial sobre cada laço fechado em seu domínio for zero. Portanto, a afirmação pode, como uma alternativa, ser declarada da seguinte forma: Se a integral de Predefinição:Math sobre cada circuito fechado no domínio da Predefinição:Math for zero, então Predefinição:Mathé o gradiente de alguma função com valor escalar.

Exemplo do princípio da afirmação

Predefinição:Main Para ilustrar a importância desse princípio, citamos um exemplo que possui em si consequências físicas significativas. No eletromagnetismo clássico, a força elétrica é uma força independente do caminho; i.e. o trabalho realizado por uma partícula que retornou à sua posição original dentro de um campo elétrico, é zero (assumindo que nenhum campo magnético variável está presente).

Portanto, o teorema acima implica que o campo de força elétrica Predefinição:Math é conservativo (onde Predefinição:Mvar é um subconjunto aberto de caminho, conectado com Predefinição:Math , que contém uma distribuição de carga). Seguindo as considerações acima, pode-se definir algum ponto de referência Predefinição:Math no Predefinição:Mvar e definir a função Predefinição:Math por:

$U_e(𝐫):=-\underset{\gamma [𝐚,𝐫]}{\int }{𝐅}_e(𝐮)\cdot \mathrm{d}𝐮$

Usando a sentença acima como prova, sabe-se que Predefinição:Math está bem definida e é diferenciável e Predefinição:Math (a partir dessa fórmula pode-se fazer uso do teorema do gradiente para, facilmente, derivar a fórmula, já conhecida, para o cálculo do trabalho realizado por forças conservativas: Predefinição:Math). Muitas vezes a função Predefinição:Math é referenciada como a energia potencial eletrostática do sistema de cargas em Predefinição:Mvar (com referência ao potencial zero Predefinição:Math). Em muitos casos, presume-se que o domínio Predefinição:Mvar é ilimitado e o ponto de referência Predefinição:Math é tomado como "infinito", o que pode ser feito com rigor, usando técnicas limitantes. A função Predefinição:Math é indispensável para a análise de muitos sistemas físicos.

Generalizações

Muitos dos teoremas de cálculo vetorial generalizam declarações sobre a integração de formas diferenciais. Na linguagem das formas diferenciais e derivadas externas, o teorema do gradiente afirma que

$\underset{\partial \gamma }{\int }\varphi =\underset{\gamma }{\int }\mathrm{d}\varphi$

para qualquer forma diferencial, Predefinição:Mvar, definido em alguma curva diferenciável Predefinição:Math (aqui a integral de Predefinição:Math além do limite de Predefinição:Mvar entende-se como sendo a estimativa de Predefinição:Math nos pontos finais de γ).

Observa-se a semelhança entre a afirmação antes feita e a versão generalizada do Teorema de Stokes, no qual diz que a integral de qualquer forma diferenciável Predefinição:Mvar sobre o limite de várias orientações Predefinição:Math é igual à integral da sua derivada exterior Predefinição:Math sobre todo Predefinição:Math, i.e.,

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{d}\omega$

Essa declaração é uma generalização do teorema do gradiente de formas 1, definidas em variedades unidimensionais para formas diferenciais determinadas para várias dimensões arbitrárias.

As considerações a respeito da inversa do teorema de gradiente possui uma grande generalização em termos de formas diferenciais variadas. Em particular, supõem-se que Predefinição:Mvar é uma forma definida em um domínio contraível e a integral de Predefinição:Mvar sobre qualquer domínio fechado é zero. Então, existe uma fórmula Predefinição:Mvar tal que Predefinição:Math. Assim, num domínio contratual toda forma fechada é igual a zero. Esse resultado é definido pelo teorema de Poincaré Lemma.

Ver também

• Teorema da curva de Jordan
• Diferencial de uma função
• Mecânica Clássica