Série harmónica (matemática)

Em matemática, a Predefinição:PBPE é a série infinita definida como: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$$

O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme) faz-se tendo em conta que a série $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\cdots$$

é termo a termo maior que ou igual à série

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-\lceil {\log }_{2}k\rceil }=1+\left[\frac{1}{2}\right]+[\frac{1}{4}+\frac{1}{4}]+[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}]+\frac{1}{16}\cdots$$ $$=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$$

que claramente diverge.

Soma dos primos recíprocos

Predefinição:Artigo principal Um resultado refinado prova que a série dos inversos dos primos diverge para infinito: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p_n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+...=\mathrm{\infty }$$

Série harmônica alternada

A série harmónica alternada é definida conforme: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}=\ln 2.$$

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que $$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$$

então H_n cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integrar $$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\frac{1}{x}dx$$ cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite: $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\ln (n)=\gamma$$ onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

1. O único H_n inteiro é H₁.
2. A diferença H_m - H_n onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

$$\sigma (n)\le H_n+\ln (H_n)e^{H_n}\text{ para qualquer }n\in \mathbb{N}$$

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver Predefinição:Citar periódico.)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^p}$$

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Série divergente

Predefinição:Artigo principal Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado de soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da função zeta de Riemann no ponto z = 1.

Ver também

• Média harmónica
• Razão harmônica