Versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach

Predefinição:Wikificação Predefinição:Sem notas O Teorema de Hahn-Banach é bastante conhecido e tem diversas aplicações na Matemática. Neste artigo será mostrado uma das mais importantes de suas várias versões, conhecida como a Versão Geométrica do Teorema de Hahn-Banach. Mas antes de prová-lo, definiremos o Funcional de Minkowski da maneira mais adequada para nós e enunciaremos um lema importante para a demonstração da versão geométrica.

Versão geométrica do Teorema de Hahn-Banach

Enunciado

Seja $\mathrm{X}$ normado e $C$ convexo e fechado contido em $\mathrm{X}$. Dado $x_0\in X,x_0\in ̸C$, e seja $X^{*}$ o Espaço Dual de $\mathrm{X}$, temos que existe $\phi \in X^{*}$ tal que $\phi (x)>sup\{\phi (x):x\in C\}$

O Funcional de Minkowski

Seja $\mathrm{X}$ normado e $C\subseteq X$. O Funcional de Minkowski de $C$ é definido por

${\mu }_C:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$

${\mu }_C(x)=inf\{\lambda >0:x\in \lambda c\}$

Obs: considere $inf(\mathrm{\varnothing })=+\mathrm{\infty }$

Um Lema importante antes da demonstração

Se $C$ é convexo e $0\in intC$, então ${\mu }_C$ é uma função sublinear e $\{x\in X:{\mu }_C(x)<1\}\subseteq C\subseteq \{x\in X:{\mu }_C(x)\le 1\}$

Dicas para a demonstração do Lema

Para provar que ${\mu }_C(\alpha x)=\alpha {\mu }_C(x)$, considere as bolas $B(x,r)=\{y\in X:\Vert x-y\Vert <r\}$ e $B[x,r]=\{y\in X:\Vert x-y\Vert \le r\}$ de forma que para $\delta >0$ tenhamos $0\in B(0,\delta )\subseteq C$. É claro que ${\mu }_C(0)=0.$ Tome, então, $x\in X\setminus \{0\}$ de forma que $\frac{\delta }{\Vert x\Vert }\cdot x\in \delta B_x=B[0,\delta ]\subseteq C$ e siga daí.

Na prova de que ${\mu }_C(x+y)\le {\mu }_C(x)+{\mu }_C(y)$ utilize o fato de que $C$ é convexo.

Por fim, se ${\mu }_C(x)<1$, então $x\in \lambda C$ , para algum $\lambda <1$. Logo, $x\in \lambda C\subseteq C$. Por outro lado, se $x\in C$, então $x\in 1\cdot C$ e ${\mu }_C(x)\le 1$, o que finaliza a demonstração do Lema.

Demonstração da Versão Geométrica

Sem perda de generalidade, podemos supor que $0\in C$. Tome $\delta =d(x,C)>0$ já que $C$ é fechado.

Agora, seja $D=\{x\in X:d(x,C)\le \delta /2\}$. Já que $0\in C$, temos que $\frac{\delta }{4}{B}_x\subseteq D$, de forma que $0\in intD$. Note que $D$ é convexo e considere ${\mu }_D$. Temos, pelo Lema citado acima, que ${\mu }_D$ é sublinear e que ${\mu }_D>1$, pois $x_0\in ̸D$.

Considere $\phi :[x_0]\to ℝ$ dado por $\phi (\lambda x_0)=\lambda {\mu }_D(x_0)$. Que $\phi$ é linear é óbvio. Além disso, temos que $\phi (\lambda x_0)\le {\mu }_D(\lambda x_0)$. Do Teorema de Hahn-Banach, temos que existe $\tilde{\varphi }\in X^{*}$ tal que

$\tilde{\varphi }{\mid }_{x_0}=\phi$ e $\tilde{\varphi }(x)\le {\mu }_D(x)\mathrm{\forall }x\in X$. Daí, note que $\tilde{\varphi }(x_0)=\phi (x_0)={\mu }_D(x_0)>1$.

Por outro lado, dado $x\in C$, temos que $x\in D$ e portanto:

$\tilde{\varphi }(x)\le {\mu }_D(x)\le 1$

Assim, $\tilde{\varphi }(x_0)>1\ge sup\{\tilde{\varphi }(x):x\in C\}$ , o que encerra a demonstração.Predefinição:Referências